A propósito dos exames nacionais, o Público pediu-me um texto para a separata de ontem sobre os exames de Matemática. Dedico-o, com toda a empatia, aos jovens que estão a fazer os exames.
Tudo o que vale a pena exige esforço. E quanto mais vale a pena, mais esforço exige. Isso é particularmente verdade sobre a Matemática: se investirmos um esforço pequeno sobre as matérias, ficando com um conhecimento superficial, de pouco ou nada nos valerá o “esforço”.
A Matemática não se aprende na Wikipedia ou navegando pela Internet. Exige pensamento, estudo, concentração, treino e algo para que nos últimos 2500 anos não se inventou substituto – o contacto humano. Aquilo a que normalmente se chama aulas.
Não sei se isto parece aborrecido, mas é a melhor (se não mesmo a única) maneira de aprender Matemática. E aprender é não só uma aventura maravilhosa, como tem no final o pote de ouro da compreensão do mundo. E para transformar o Mundo, é preciso primeiro compreendê-lo.
Isaac Asimov, num conto com mais de cinquenta anos publicado nos Nove Amanhãs, relata a seguinte história. Num futuro imaginário, as crianças brincam 364 dias por ano e um dia por ano o seu cérebro fica ligado a uma máquina com discos que lhes administram automaticamente todos os conhecimentos de que necessitam. Assim fazem toda a escolaridade e aprendem tudo o que precisam, da primária à Universidade. Todos menos um rapazito.
Desde os 7 anos de idade este rapaz foi obrigado a aprender à maneira antiga: estudando, tendo aulas, esforçando-se, compreendendo, investindo o seu tempo. Enquanto os seus amigos brincavam 364 dias por anos, ele estudava. E assim foi, para sua grande frustração, incompreensão e mesmo revolta, até à idade adulta.
Nessa altura foi chamado pelas classes governantes da sociedade. Começa por expor toda a sua revolta. Porque é que me trataram assim? Porque é eu tive de me esforçar para aprender por mim próprio tudo aquilo que ensinaram aos outros sem esforço? E a resposta foi “Porque tu foste escolhido para escrever os próximos discos”.
O pote de ouro da Matemática é o seguinte: todos os grande avanços científicos e tecnológicos implicam a utilização de novas ferramentas matemáticas. Para dar um exemplo recente que muitos de nós temos nas mãos, uma desconhecida empresa de indústria pesada, que fabricava pneus e pasta de papel, decidiu no final dos anos 60 virar-se para as telecomunicações. Estava num país com enorme densidade de pessoas altamente qualificadas do ponto de vista científico, técnico e matemático, e os grandes problemas matemáticos estavam a surgir. Era uma altura estratégica para entrar.
O país era a Finlândia. A empresa era a Nokia, hoje o gigante mundial de telemóveis. Continua a fabricar pneus, embora quase ninguém saiba. Mas para isso não é preciso Matemática mais sofisticada do que a do século XVIII, e não é por isso que a Nokia é conhecida (o leitor conhece alguém que use pneus Nokia no carro?). Para inovar verdadeiramente é necessário estar em condições de criar Matemática nova (e Física, e Química, e Engenharia). Enquanto seres humanos isso transporta-nos a altitudes nunca antes imaginadas - é como descobrir um Evereste pessoal para escalar. Só isso já compensa o esforço. E no fim da escalada pode estar um verdadeiro pote de ouro. Mas só está lá para quem se esforçar a descobri-lo.
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21 comentários:
Se me permite a ousadia, pois sou da filosofia, acredito que um dos grandes problemas no ensino de matemática seja falta de discussões filosóficas, ou mesmo de aspectos históricos da matemática. O contexto das descobertas matemáticas ao longo da história. Para responder que questão que surgiram os números naturais, os números complexos, o logarítimo. Acho que mais do que falar de possíveis aplicações tecnológicas se deveria reverenciar um pouquinho mais o passado. Falar de Euclides, Tales, Pitágoras. Falar do surgimento do zero, ou discussões sobre o número, ou então do tipo de conhecimento que produz a matemática, é científico? Não é? Que tipo de resposta que a matemática dá e que se diferencia da física, por exemplo. Eu estudei matemática aqui no Brasil e nunca na vida vi coisas assim em aulas de matemática. Então, sinceramente acho que o ensino da matemática vai por um caminho muito questionável. E dificilmente acho que algum dia a matemática vai estimular de fato algum aluno.
As pessoas que acabam, ao menos aqui no Brasil, indo fazer matemática é porque tem certa capacidade para resolver probleminhas, facilidade com números. Ninguém faz idéia do que seja a matemática antes de ingressar num curso superior. Não sei como é em Portugal, me digam vocês. E me digam o que pensam do ensino de matemática usual. Espero que por aí as coisas sejam muito diferente. Muito mais do que exercícios repetitivos para se mostrar sabe-se lá o quê. A funcionalidade de uma regra?
Cordialmente,
Daniel
Talvez não tenha me feito claro quando falei em contexto de descoberta. Penso principalmente em dizer aos alunos, ao invés de mostrar-lhes as diversas aplicabilidades do logarítimo, ou da integral, de tentar falar também da história, da relevância do surgimento na história dessas coisas. A que questões elas vieram responder? No que elas superaram o que não estava dado? No que se mostraram absolutamente revolucionárias? Isso é importante para que os alunos entendam o contexto daquilo. Muito mais que saber que com tais conhecimentos hoje é possível construir uma ponte e por isso teria alguma importância, relevância, ou despertaria interesse em alguém.
Aqui no ensino usam dos argumentos mais cretinos para convencer os alunos da importância da matemática: vejam bem, hein, sem matemática vocês não sabem calcular o salário no fim do mês, nem conferir o troco, nem pensar no preço das coisas... Isso estimula alguém? Esse "pragmatismo" tosco estimula alguém a conhecer Leibniz? Pelo amor de deus! Isso é ridículo. E se insiste nisso, loucamente.
Gostaria de ouvir que em outros países não é assim. Uma matemática aproximada de filosofia, de filosofia da ciência, aproximada da história, penso que é algo que desperta muito mais interesse do que uma matemática que aponte para possíveis inovações tecnológicas, ou para usos cotidianos.
Cordialmente,
Daniel
«Para que serve a Matemática?»
Conta-se que, um dia, um aluno de Euclides perguntou ao mestre para que servia o que estava ali a aprender.
Euclides mandou dar-lhe uma moeda e expulsou-o da aula.
Meu homónimo brasileiro, meu Caro Jorge Buescu
A Matemática começa por ser mal tratada logo na aprendizagem dos primeiros números. Tem havido erros de toda o género, e vou resumir alguns de que me lembro.
Há muitos anos, houve alguém que provavelmente leu Bento de Jesus Caraça e fez com que se ensinasse às criancinhas que, na indicação dos cálculos, o dinheiro tinha de vir sempre primeiro. (Que sentido faz para uma criança, ou seja para quem for, dizer 50$00 vezes três?)
Em outra época, impôs-se o nome (o conceito é intuitivo) de conjunto. Tudo bem, até chegar ao conjunto singular e, pior ainda, ao conjunto vazio, ambos em oposição inconciliável com o significado da palavra aprendido na Língua Portuguesa.
E que sentido faz dizer que a área ou a superfície (cá está outra confusão recorrente, a de área e superfície) é o comprimento vezes a largura? Ou que não pode somar-se laranjas e maçãs (quando, se a pergunta for "quantos frutos existem?" não há outra maneira de resolver o problema)?
Não haverá talvez em Portugal nenhum manual que ajude os professores a "materializar" a Matemática. Uma das experiências que mais entusiasmam as crianças é fazê-las compreender que podem sair da tirania do "vezes", "dividir", "somar" e diminuir". Não há problema que não possa ser feito a partir da soma, sendo as outras operações nada mais do que a simplificação desta. Afinal não é apenas isso que as calculadoras fazem?
Provavelmente ainda haverá quem ensine que os algarismos são os números até 9.
Quem estará disposto a criar um manual com coisas assim simples? Porque a Matemática não compreendida no princípio da aprendizagem dificilmente se torna acessível mais tarde.
São sempre interessantes as intervenções de Jorge Buescu sobre Matemática e este texto é gratificante para quem aprecia a matéria.
Todavia, como engenheiro, por inerência um utilizador de várias ciências, entre as quais a Matemática, sou sensível ao que escreveram os dois leitores Daniel.
De facto, o ensino da Matemática sem o devido enquadramento histórico torna a aprendizagem mais difícil.
É verdade que existem cabecinhas capazes de assimilar conceitos abstractos sem grande dificuldade, mas a generalidade das pessoas não tem essa capacidade.
Aliás, o enquadramento histórico, além de explicar a oportunidade e a forma como os conceitos matemáticos foram introduzidos, permite humanizar todos aqueles nomes de matemáticos ilustres, cujas vidas, frequentemente agitadas, proporcionam verdadeiros romances a que os alunos se revelam sensíveis e a que mais facilmente podem associar os conceitos que esses mestres nos legaram.
Como salienta Buescu, não se aprende Matemática sem despender algum esforço próprio. E de uma coisa podemos estar certos : alunos que em devido tempo, na idade em que a memória é mais vigorosa, não decoram a velha tabuada e não exercitam o cálculo mental, dificilmente poderão progredir nos seus estudos de Matemática.
Somar fracções, desembaraçar uma equação de denominadores, e muitas outras operações simples, recomendam o domínio do cálculo mental para poderem ser realizadas de forma relativamente rápida.
Se o aluno não possui esse domínio, todos os passos da operação se tornam penosos, levando ao desânimo e à convicção de que não se tem jeito para a Matemática.
Sei do que falo, porque já fui explicador, já fui professor universitário e, acima de tudo, porque tenho cinco filhos, entre os 40 e os 18 anos.
Na vida quotidiana encontramos várias situações em que temos de actuar rapidamente recorrendo a técnicas que apuramos com treino intenso, a fim de procedermos de forma automática. Não se consegue conduzir um automóvel se estivermos a pensar, em cada momento, no movimento que devemos efectuar. Na Matemática, o treino do cálculo mental é extremamente importante.
Jorge Oliveira
O leitor Jorge Oliveira focou um dos pontos essenciais da questão do ensino em Portugal. Sem se perceber bem porquê, a memorização tornou-se uma espécie de interdito. E não só na Matemática (de que a omissão da tabuada é o caso mais imediato e danoso), mas também em outras disciplinas. É impossível, por exemplo, ter noções úteis de História sem umas quantas balizas temporais que definam os períodos de que se fala.
Esta subalternização da memória é ridícula. É óbvio que ela é a base não apenas de qualquer capacidade de raciocínio, como o é também da nossa própria vida. Um ser humano sem memória não teria passado, o que seria o mesmo que não ter vivido. O preconceito deve-se, sem dúvida, a confundir-se o saber memorizado com uma espécie de psitacismo. No entanto, o conhecimento capaz de inferências é impossível sem o outro.
Nota-se um cuidado ridículo em poupar a memória dos alunos, como se esta fosse coisa que se gastasse. Quanto mais se memoriza, maior se torna a capacidade de memorização. Há que saber treinar a memória, claro, para o conhecimento útil, e isso pode fazer-se a partir de centros de interesse dos alunos, habituando-os a seleccionar o essencial por exclusão do supérfluo. Mas nesta categoria nunca estará, de maneira nenhuma, a tabuada.
Há dias, com recurso aos rudimentos da Aritmética Racional, estive a explicar a um prof. de F-Q o "porquê" dos "noves-fora".
Mas depois fiquei a saber que nunca lhe tinham ensinado - sequer! - a "prova dos nove"!!
Recado para Carlos Medina Ribeiro
E pensa que isso é grande coisa? Sou muito amigo de um rapaz, belíssimo professor de Matemática, muito culto, a quem nunca foi ensinada a raiz quadrada. Aprendeu-a uns anos depois de já exercer.
É como eu digo, meu caro, a escola antiga pode não ter deixado saudades, mas deixou saber.
Pois eu tive de ensinar a divisão a um professor com vários anos de actividade.
De caminho, vi que não sabia a tabuada dos 7, nem dos 8, nem dos 9.
Bem... Estou a exagerar, pois sabia a parte do "vezes 1" e do "vezes 10".
E isso parece-lhe grande coisa, Carlos? Já ouvi jornalistas da TV capazes de multiplicar por mil! Uma vez só, é verdade, mas multiplicam. Pelas suas contas, a minha ilha pode ter aí uns 747 000 m2. E até multiplicam por 1,6. Também uma vez só, claro. Já ouvi que a Austrália tem cinco milhões de km2. Tradução de cerca de três milhões de milhas quadradas, obviamente... parta eles.
Algumas vezes me tenho perguntado, por causa da experiência escolar dos meus filhos: Por que raio, os professores do 1º ciclo têm de fazer tanta formação de matemática? Afinal o programa pouco mais é do que as quatro operações elementares (digo: adição, subtracção, multiplicação e divisão), meia dúzia de unidades de medida e outro tanto (se tanto) de conversões. Pensava eu, tanta formação é para os professores se actualizarem relativamente a métodos de motivação do aluno para a disciplina, para levar o aluno a experimentar novas formas de abordagem da matemática, mais próximas dos problemas reais. Estava errado!
Obrigado pelo post e pelos comentários desta caixa. Estou muito mais esclarecido.
O sistema de ensino em Portugal é avesso a avaliações, tanto dos alunos como dos professores. É fácil perceber porquê!
De vez em quando também me surgem outras dúvidas. Deixo aqui uma. Haverá algum outro sistema produtivo, para além do Ministério da Educação, onde a coincidência entre o sindicato (digo estruturas sindicais) e a administração (digo estruturas directivas) é tão grande e evidente? Isto cheira a contra-senso. Não cheira? Eu não consigo encontrar nada de semelhante, nem nos organismos públicos nem, obviamente, nas organizações privadas. É que esta coincidência me parece algo,... no mínimo, pouco produtiva.
Posso ser chato, por vezes até retorcido (chego a pensar se não terei o meu cérebro organizado em espiral), mas, acreditem, eu não sou má pessoa.
Se eu estiver a ver isto mal, digam-me. Tá?
Artur Figueiredo
"A escola antiga deixou saber"?
Aprendi a prova real, a prova dos nove fora (nada...) a raiz quadrada... e talvez exceptuando "os nove fora nada" ;-) esqueci tudo o resto, e não sou a única.
"Mente sã em corpo são". A única aprendizagem que reamente fica é a do corpo e nesse campo há uma mentalidade ainda muito cartesiana, o que se revela também pelo ppapel minoritário das artes na Escola Básica.
Não me parece muito viável ensinar matemática aos putos e ao mesmo tempo contar-lhes com detalhe a vida dos gajos que inventaram os números e as raízes quadradas.
Parece-me emais importante usar exemplos onde a matemática pode ser útil.
Nunca precisei de ter nenhuma idéia de quem foi o Fourier para utilizar bem as suas transformadas.
Quanto à tabuada, é muito fácil esquecer uma coisa que não se utiliza muito, também me acontece a mim. Só que eu não tenho nenhum problema com isso, se me esqueci de quanto é 8 vezes 7, sei que me basta fazer umas adições para saber qual é o valor certo. Também nunca decorei fórmulas do tipo: cos(a) mais cos(b), porque acho uma chatice e prefiro deduzi-las quando preciso delas. Se me esquecer da fórmula do volume do cone, deduzo-a. E nem me falem em decorar a fórmula do momento de inércia de um cilindro, eu não preciso dessas coisas.
Para mim a melhor maneira de entender a matemática é não decorar, porque basta entender o essencial para se saber a coisa.
Já agora, os comentadores que aqui se gabam de saber o algoritmo do cálculo da raiz quadrada, como é que fariam, se estivessem numa ilha deserta sem livros e cálculadora, para calcular a raiz cúbica?
Antigamente usavam-se tabelas com os valores dos logaritmos e dos cossenos, hoje em dia é diferente, não é?
luis
Para que precisaria eu de resolver uma raiz cúbica estando numa ilha deserta?
É por não gostar de ilhas desertas que não lamento nada do que aprendi na escola antiga. Porque quanto menos se sabe mais isoldado se está. Só isso. Mas esse "isso" seria suficiente para que eu, até nessa ilha deserta, não quisesse esquecer nada do que sei. Mas é uma questão de gosto pessoal. Como será a do Jorge Oliveira, talvez, ao pensar que o cálculo mental é importante. É pena (e é outra questão de gosto pessoal) que raramente cheguem a ministros pessoas que pensem da mesma maneira. Os nossos ministros são mais do género de um rapaz que frequenta o secundário e há dias me perguntou "Para que é que um professor de Matemática precisa de saber Português?" Se ele pudesse entender a resposta, eu teria dito "Para escrever bem como o Jorge Buescu, por exemplo." Ou para evitar que, sendo Presidente da República, diga que se reuniu com uns "dignatários". O que fica feio, já que, tendo Pessoa adaptado ao Português o que Oscar Wilde dissera da sua língua, declarou que a temos por pátria. Da qual, portanto, a primeira figura do Estado deveria ser presidente também.
A matemática serve para dar segurança em um mundo tão rasteiro e perigoso. Aqui, dois mais dois são dois mais dois. E não tem história nenhuma de bois....he...he...he...
há uns anos ouvi alguém citar um professor seu que à pergunta "Para que serve a Matemática?" respondeu: A pergunta não deve ser "para que serve?", deve ser "que piada é que tem?".
A matemática tem piada. Aliás, como qualquer área do conhecimento tem piada. Desde que seja ensinada com piada a quem a quer (ou tem de) aprender. Se conseguirmos passar aos alunos a piada que conseguimos ver na matemática eles vão achar piada, vão aprender brincando e por isso vão aprender melhor.
E se tiver piada, de certeza que servirá, no futuro, para alguma coisa.
Mais ou menos como já não me lembro quem, penso que era o Gauss, que dizia sobre certa afirmação que era tão bela que só podia ser verdade, há coisas que por serem tão giras só podem ser úteis!
Mas pronto, eu confesso que acho imensa piada à matemática (e à ciência em geral) e por isso sempre tive facilidade em aprendê-la. Também reconheço que a maior parte dos alunos não lhe vê piada nenhuma e por isso tem dificuldades e falta de gosto na aprendizagem. A utilidade é importante, mas a piada é que... dá piada à coisa!
O sociólogo faz sociologia; o médico, medicina; o filósofo, filosofia; logo, o matemático, matemática. Tão simples quanto isso.
gostei muito desta informaçao sobre a matematica
dou os meus parabens
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muito boa a metéria, sou do décimo ano e estou começando a descobrir as maravilhas da matemática, coisa que eu não conseguia ver no passado, a matemática é tão simples que só necessita de esforço, empenho, dedicação (seja qual for o método), mas uma coisa é certa ´´[sem a prática a matemática é impossível]´´
Seu burru
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