Evoluções numéricas a perder de vista

Novo post de Guilherme de Almeida, correspondendo a um artigo que publicou:

Estamos habituados, desde muito novos, a fazer previsões ou estimativas baseadas em progressões aritméticas, nas quais cada novo termo se obtém somando uma quantidade fixa, positiva ou negativa, ao termo anterior. Por exemplo 1, 3, 5, 7, … No nosso dia-a-dia quase nunca pensamos nas progressões geométricas, nas quais cada novo termo se obtém multiplicando o termo anterior por uma quantidade fixa, maior ou menor do que a unidade. Por exemplo 1, 2, 4, 8, … Quando somos confrontados com factos ligados a progressões geométricas, ou desafiados a fazer estimativas nesse contexto, as nossas previsões, em geral obtidas com base no senso comum e no hábito enraizado, falham estrondosamente. Também falhamos redondamente na comparação de outras situações para as quais também não estamos treinados. Este artigo destina-se a mostrar alguns desses casos limite.

Crescimento inesperado da espessura de uma folha de papel

Admita-se que tínhamos uma fita de papel muito comprida, com a espessura e=0,1 mm Dobrando a fita ao meio, pela primeira vez, teremos o dobro da espessura (0,2 mm), ou seja e x 2^1; dobrando outra vez a fita, após a segunda dobragem a espessura do papel atingirá 4 vezes a espessura inicial, ou seja, e x 2^2 ; à terceira dobragem chegaremos à espessura e x 2^3. É fácil concluir que ao fim de n dobragens, a espessura atingida será e x 2^n. Parece que estamos sempre nas pequenas espessuras. Por mais vezes que se dobre o papel, a espessura será sempre insignificante, pensamos nós.

É claro que todos sabemos que ao fim de algumas dobragens será preciso uma força enorme para dobrar o papel, e seria necessário ter à partida uma tira de papel enorme para o poder dobrar sucessivamente. Vamos desprezar esses factos e pensar apenas no modo como a espessura de papel cresce, à medida que este vai sendo sucessivamente dobrado, pois o nosso interesse fundamental é ver como é que a espessura vai aumentando.

Podemos colocar uma primeira pergunta: quantas vezes seria preciso dobrar o papel para obter uma espessura igual à distância média da Terra à Lua (384 400 km)? Parece que teríamos de o fazer milhares de vezes, ou provavelmente milhões de vezes (o senso comum diz-nos isso), mas... ao fim de 42 dobragens a espessura do papel dobrado já excedeu essa distância. Vejamos como:

A distância da Terra à Lua, em média, é d_Lua=384 400 km=3,844x10^8 m. A espessura da folha de papel (uma só camada) mede 0,1 mm = 0,1 x 10^-3 m.

Ao fim de n dobragens a espessura global de papel atingirá finalmente 3,844x10^8 m. Mas, afinal quantas vezes teremos de dobrar? Teremos de o dobrar n vezes, de tal modo que e x 2^n = d_Lua, ou seja, 0,1 x 10^-3 x 2^n = 3,844 x 10^8 m, o que significa que 2^n = 3,844 x 10^8/ 0,1 x 10^-3

Resta saber qual é o número n que torna possível a anterior condição. Aplicando logaritmos de base 10 (que se aprendem actualmente no 12.º ano) a esta última expressão, teremos:

2^n = 3,844x10^8/0,1 x 10^-33 ou n log 2= log (3,844 x 10-12) ou n=41,806.

Mas como n tem de ser um número inteiro (não há meias dobragens), a espessura de papel ultrapassa a distância da Terra à Lua à 42.ª dobragem. Este resultado é uma surpresa enorme. Qualquer jovem, ou menos jovem, pode verificar facilmente este resultado utilizando uma vulgar máquina de calcular com funções científicas básicas, usando a tecla x^y. Comprovaremos facilmente que 2^42 ultrapassa 3,844x10^12. É claro que a solução (valor de n) pode variar ligeiramente consoante a espessura do papel considerado no cálculo.

Ainda mais longe

À 51.ª dobragem (contada desde o início), já a espessura de papel excede uma unidade astronómica (distância média da Terra ao Sol), que vale aproximadamente 150 milhões de km (1,5 x 10^11 m). O cálculo a fazer é semelhante ao que fizemos anteriormente para a distância da Terra à Lua, utilizando agora a distância da Terra ao Sol (d_Sol).

À 67.ª dobragem (contada desde o início), a espessura do papel excede um ano-luz (1 ano luz = 9,461 x 10^15 m).

À 83.ª dobragem (contada desde o início), a espessura do papel excede o diâmetro tradicionalmente considerado da nossa galáxia! (100 000 anos-luz). Quem diria?

Caminhando para o infinitamente pequeno

Também podemos andar no sentido inverso, em busca de dimensões sucessivamente menores. Conta-se que Demócrito, filósofo grego que viveu em Abdera entre 460 a.C. e 370 a.C., foi uma das primeiras pessoas a pensar que a matéria não podia ser infinitamente dividida. Teve uma primeira ideia de átomo, considerando-o como a mais pequena porção de matéria que ainda mantinha as propriedades da substância original, se esta fosse uma substância simples (diríamos agora). Considerou o átomo indivisível (do grego “a ”=negação e “tomo” = divisível, ou seja, átomo = indivisível). Dizia Demócrito que se alguém cortasse uma maçã ao meio, com uma faca afiada, dividindo depois uma das metades ao meio, depois dividindo um dos quartos ao meio, e assim sucessivamente, teríamos de parar a certa altura, pois só restaria um átomo, já não divisível (para Demócrito). Não colocaremos a questão de saber da dificuldade técnica de cortar fragmentos minúsculos (ou até da real possibilidade de o fazer com uma faca, por mais afiada que esta seja), pois não é esse o nosso objectivo. Quantas vezes poderemos cortar a maçã até se chegar a um só átomo? Também parece que precisaremos de a cortar milhares de vezes, ou mesmo milhões de vezes, para o conseguir. Será assim?

Para simplificar, admita-se que a nossa maçã tem a forma de um cubo com 8 cm de aresta (Figura de cima), tendo por isso um volume de (8^3) cm^3= 512 cm^3. Um átomo, que suporemos de hidrogénio, por ser o menor de todos tem um diâmetro de cerca de 100 picómetros (100 pm), ou seja 100 x 10^-12 m= 1 x 10^-10 m = 1 x 10^-8 cm. Supondo esse átomo também cúbico, para simplificar, o seu volume seria (1 x 10^8)^3 cm^3 = 1 x 10^-24 cm^3.

Após o primeiro corte, o volume será 512/2^1 cm^3. Ao segundo corte termos 512/2^2 cm^3. E ao fim de m cortes o volume residual ficará em 1 x 10^-24 cm^3, que é o volume de um só átomo.

Portanto, (1x10-8)^3 =512/2^m ⇔ 2^m =512/10^-24, ou ainda 2^m =5,12 x 10^26. Recorrendo ao método já citado (logaritmos de base 10), obteremos:

m log 2= log (5,12x10^26), ou seja, m=88,73.

Isto significa que ao fim de 89 cortes teremos chegado ao átomo (mais uma vez, m tem de ser um número inteiro). Parece inacreditável que tenhamos de cortar tão poucas vezes.

Uma outra surpresa

Vamos ver agora um outro facto surpreendente e inesperado. Admita-se que alguém conseguia enrolar um arame em volta da Terra, passando, por exemplo, pelo equador. O diâmetro médio da Terra é aproximadamente 12756 km. Para simplificar os cálculos, consideremos a Terra perfeitamente esférica, sem montanhas. O arame estará, por isso sempre encostado à Terra em todo o seu perímetro. Aumentemos um metro ao comprimento do arame. Voltando a dar-lhe forma circular, e mantendo-o igualmente afastado do chão em todo o seu comprimento (suportando-o por estacas, por exemplo), o arame passará a uma altura de quanto relativamente ao chão? Esse não é o problema em si, pois essa altura vale 0,15915… m, como mostraremos mais adiante. Podemos repetir a experiência, agora mais fácil de realizar, circundando uma laranja esférica de (por exemplo) 8 cm de diâmetro, com um arame fino, de modo a ficar justo. Aumentando depois um metro ao comprimento desse arame, e dando-lhe a forma circular (e concêntrica com a laranja) a que altura passa o arame acima da superfície da laranja? Será muito mais do que no caso da Terra? Na realidade obteremos os mesmos 0,15915… m.

Na verdade, veja-se que a medida do raio do arame, dando a volta ao equador de uma esfera qualquer de raio r, vale 2 pi r / 2 pi = r quando encostado à esfera. E valerá (2 pi r + 1 )/ 2 pi = r quando o arame for alongado 1 m (considerando r expresso em metros). O que procuramos saber é diferença entre o segundo e o primeiro valor. Feitas as contas, essa diferença vale 1 / (2 pi) = 0,15915… m. E, para nossa surpresa, é independente de r. Terra ou laranja, tanto faz!

Guilherme de Almeida