Matemática, empirismo e Gödel

O principal obstáculo para a compreensão da natureza da matemática é o preconceito empirista de que todo o conhecimento genuíno é empírico. Muitos cientistas pensam erradamente que é o contacto com a experiência que caracteriza a atitude científica. Isto é evidentemente falso, pois sem matemática não há ciência empírica, a matemática não é empírica e continuaria a ser perfeitamente científica mesmo que não tivesse qualquer contacto com a experiência (como, de facto, grande parte da matemática não tem).
Na verdade, teríamos muito a ganhar em deitar fora ideias filosóficas mal amanhadas, como é o caso do empirismo, sobretudo quando quem as defende nem sequer conhece a bibliografia filosófica onde estes temas são cuidadosamente estudados. A ironia é que não a conhece porque, sendo a filosofia como a matemática (nenhuma das duas é uma disciplina empírica), os cientistas sentem que a filosofia é lixo intelectual, mais ou menos como a astrologia. O que é curioso nisto é que a maior parte das pseudociências são estudos empíricos — acontece apenas que são mal feitos, e é por isso que são pseudocientíficos, e não por não serem empíricos. Em contrapartida, nem a numerologia nem a matemática são disciplinas empíricas, mas uma é científica e a outra não. Não mais de um minuto de reflexão honesta mostra que a demarcação entre a ciência e a pseudociência não pode ser o simplismo que é comum pensar (simplismo que é, não o devemos esquecer, uma doutrina filosófica — ainda por cima demonstravelmente errada — sobre a natureza da ciência) e a que o David Marçal já deu voz neste blog (vale a pena dizer que, no julgamento referido, o filósofo consultado pelo tribunal foi Michael Ruse, que mais tarde percebeu que a sua perspectiva do que é ciência é insustentável, como mostrou logo de seguida o filósofo Larry Laudan).

O empirismo fica com um problema grave para responder: a matemática. É óbvio que a matemática nos dá conhecimento substancial da realidade. Claro que não nos dá sozinha esse conhecimento: precisamos da observação empírica para saber qual é a natureza do espaço, por exemplo. Mas a observação empírica também não nos dá sozinha um conhecimento substancial da realidade: sem a matemática, tudo o que podemos fazer é descrever de maneira superficial o que observamos, nunca se conseguindo formular leis científicas nem se conseguindo explicar adequadamente os fenómenos observados.

É um caso de discriminação. Durante séculos, era como se só os homens fossem responsáveis pela humanidade; as mulheres eram apenas um acessório decorativo. Gostaria que um dia acabasse o preconceito epistémico de que só o conhecimento empírico é genuíno, uma vez que sem o conhecimento matemático o conhecimento empírico é superficial e desinteressante (pré-científico, para chamar os bois pelos nomes). Mas por que razão há este preconceito? Porque não compreendemos muito bem como sabemos matemática; não compreendemos muito bem como, pelo raciocínio apenas, descobrimos todas aquelas coisas maravilhosas da matemática e da lógica.

Em contraste, parece-nos que compreendemos muito bem como descobrimos que a água é H2O: pela experiência, pela observação. Assim, parece-nos que o conhecimento matemático tem de algum modo de ser eliminado ou reduzido a outra coisa, para poder ser explicado adequadamente. Eu penso que isto é uma ilusão: na verdade, se pensarmos bem, não compreendemos realmente como pode uma onda de luz que afecta a nossa retina, que por sua vez produz correntes eléctricas no nosso cérebro, dar origem a uma representação correcta de uma árvore, para não falar de uma teoria biológica complexa sobre a árvore.

Em qualquer caso, a ideia era que a matemática tinha de ser domesticada, digamos, para se harmonizar com a visão empirista das coisas. E é aqui que surge o logicismo: a tentativa de mostrar que os fundamentos da matemática são, no fundo a lógica.

Curiosamente, esta não era a principal motivação de filósofos como Bertrand Russell e Gottlob Frege, assim como de matemáticos como Peano. A principal preocupação era tornar toda a matemática rigorosa, como a geometria o era. Mas quando fazemos um trabalho de rigor deste género temos de nos perguntar duas coisas. Primeiro, quais são as verdades matemáticas fundamentais, a partir das quais podemos provar as outras. Segundo, que princípios nos permitem provar as segundas com base nas primeiras. Ora, ao tentar tornar rigorosa a matemática, partimos de verdades lógicas simples e de princípios que nos permitem tirar daí conclusões. Assim, apesar de a motivação principal ser o rigor, acaba-se por dar razão ao empirista que considera que a matemática é apenas lógica disfarçada.

A ideia de que a lógica seria o fundamento da aritmética faz sentido, e hoje sabemos melhor até que ponto uma parte importante das verdades aritméticas são verdades lógicas (podemos provar só com princípios lógicos, por exemplo, que dois mais dois é quatro). Para as pessoas comuns, contudo, a ideia de tornar a matemática rigorosa recorrendo à lógica parece o mundo de pernas para o ar — pois estão habituadas a pensar que a lógica é coisa de filósofos e por isso é mais ou menos como a homeopatia, ao passo que a matemática é coisa de gente séria, mais que não seja porque sem ela acaba-se a física, a química, a biologia e tudo o que chamamos “ciência”. A verdade, contudo, é que a matemática era tudo menos rigorosa nos finais do séc. XIX e que se tornou rigorosa porque passou a usar recursos lógicos, o que por sua vez conduziu a importantes desenvolvimentos da própria lógica. Lógica e matemática fecundaram-se assim mutuamente.

O projecto de reduzir a matemática à lógica era o projecto de mostrar que, afinal de contas, não há verdades matemáticas no sentido primitivo do termo: todas as verdades matemáticas são afinal verdades lógicas. Isto parece que nos deixa mais ou menos na mesma. Contudo, se pensarmos que a ideia de verdades matemáticas era uma espinha na garganta da epistemologia empirista (as únicas verdades genuínas e sérias são empíricas, as que não o são não passam de “treta” — um novo conceito filosófico recentemente introduzido nos debates pseudocientíficos nacionais), a ideia de mostrar que a matemática afinal é lógica parece uma beleza — se ao mesmo tempo tivermos uma ideia empirista qualquer sobre a epistemologia da lógica. E isso era precisamente o que os empiristas pensavam que tinham.

Os empiristas do séc. XX, mais sofisticados do que os dos séc. XVIII, pensavam que podiam afirmar que todo o conhecimento substancial da realidade é realmente empírico. A lógica não fornece, do seu ponto de vista, qualquer conhecimento substancial da realidade, porque é apenas a gramática do pensamento, as regras sintácticas e semânticas da nossa linguagem, nada mais. Por isso, parece que sabemos sem recorrer à experiência que se está a chover, está a chover (esta é uma verdade lógica), mas na verdade isto não é conhecimento genuíno de coisa alguma, porque é apenas a expressão da gramática da nossa língua: exprime a nossa determinação contingente (poderíamos ter outra lógica, tal como temos várias línguas) para usar a expressão “se, então” de uma dada maneira em vez de outra.

Neste contexto empirista, se conseguirmos mostrar que a matemática afinal é lógica disfarçada, acaba-se a espinha na garganta do empirista: a matemática realmente não nos dá conhecimento substancial da realidade, porque é apenas lógica e esta é só convenções linguísticas e nada mais. O empirismo ganhou finalmente a batalha, contra todas as aparências em contrário. E é aqui que entra Gödel.

Como muitos outros filósofos (incluindo dois dos fundadores da lógica e matemática modernas, Russell e Frege), Gödel não era empirista. Quando se diz que uma pessoa não é empirista, os crentes religiosos na Ciência (com maiúscula, como Deus, a Pátria, o Estado e o Futebol, perdão, a Família) ficam logo amuados, porque para eles toda a gente que não seja empirista é sacrílego, não é sério e é pseudocientífico e místico. Porquê? Porque parece logo que essa pessoa acredita numa parvoíce: que nos sentamos na cadeira, e como não somos empiristas, temos a veleidade de descobrir apenas pelo pensamento como é a atmosfera de Marte. Como isto é obviamente idiota, os empiristas são idiotas.

Isto é mais ou menos como pensar que uma pessoa que rejeita que todas as mulheres são louras é idiota porque defende que nenhuma mulher é loura. Como é óbvio que há mulheres louras, este gajo está em delírio. Acontece que quem está em delírio são tolos que não sabem como se nega correctamente uma afirmação simples quantificada. A negação correcta de “todas as mulheres são louras” não é obviamente que nenhuma mulher é loura, mas antes que algumas não são louras. Do mesmo modo, negar o empirismo é negar que todo o conhecimento substancial é empírico, o que significa defender que nem todo o conhecimento substancial é empírico — e não a tolice de que nenhum conhecimento substancial é empírico.

Como muitos intelectuais, Gödel não tinha um sentido muito bom da natureza humana. E o futuro mostrou-o de modo particularmente nítido. O que Gödel fez foi mostrar que há verdades matemáticas que não são lógicas. E que verdades são essas, são profundas, rebuscadas, estranhas? Não. São meras verdades aritméticas óbvias. O que mostra o famoso teorema de Gödel de 1931 é que, dado um sistema de lógica suficientemente forte para conter a aritmética, se o sistema for consistente, haverá verdades matemáticas que o sistema devia incluir, mas que nunca vai incluir. Dado que se trata de verdades que podemos conhecer de maneira muito simples, e dado que não são verdades lógicas, segue-se que a espinha na garganta volta a atacar: o empirista não tem maneira de descalçar a bota e dizer que o conhecimento matemático é meramente lógico e que este é completamente vácuo, pelo que todo o conhecimento é empírico.

Para surpresa de Gödel — eu avisei que ele desconhecia a natureza humana — ninguém na audiência percebeu o alcance do resultado por ele apresentado. E na audiência estavam alguns dos mais importantes lógicos e filósofos empiristas daquele tempo, como Carnap. Pior ainda: passou já um século desde a publicação do seu resultado, e os empiristas continuam a falar como se nada fosse. Gödel tinha a ingenuidade de pensar que as pessoas mudam de ideias com argumentos, razões, provas cabais — mas raras pessoas fazem tal coisa.

A história de Gödel é a história da miséria cognitiva humana. Devido ao seu rigor e atitude extremamente cuidadosa, Gödel não gostava de afirmar o que não podia provar. Por isso, trabalhou durante muito tempo no que pensava que era uma contribuição fundamental para a história da filosofia: a refutação definitiva do empirismo. A história mostrou-lhe o quão errado ele estava. Hoje, o teorema de Gödel é mencionado por pessoas que não sabem coisa alguma de lógica como se ele tivesse mostrado os limites da racionalidade. Não tem coisa alguma a ver com isso. O que ele mostrou é que temos uma coisa que a todos parece óbvia menos aos empiristas: temos conhecimento não-empírico substancial da realidade, pelo que o conhecimento e a racionalidade humana não se limitam à experiência empírica e à manipulação cega de símbolos (que é o modo como os empiristas concebem a lógica).