"Como Resolver Problemas Matemáticos"

Como post convidado e agradecendo a autorização ao autor e editores, publicamos o prefácio de João Filipe Queiró, professor de Matemática da Universidade de Coimbra, ao interessante livro que foi há pouco lançado no Encontro Nacional da Sociedade Portuguesa de Matemática: "Como resolver problemas matemáticos - Uma perspectiva pessoal", de Terence Tao, Sociedade Portuguesa de Matemática e Texto Editores, 2008 (na imagem Terence Tao):

Em 22 de Agosto de 2006, em Madrid, o Rei de Espanha entregou a medalha Fields ao matemático australiano Terence Tao, no primeiro dia do 25º Congresso Internacional de Matemática. Para a maioria dos leitores este será um prémio obscuro. Outros terão ouvido dizer que é algo como o prémio Nobel da Matemática. Na verdade, a medalha Fields é muito mais difícil de obter do que o prémio Nobel. Em primeiro lugar, é atribuída nos Congressos Internacionais de Matemática, e estes realizam-se apenas de quatro em quatro anos. Em segundo lugar, só pode ser candidato à medalha Fields num Congresso quem não tiver completado 40 anos até ao fim do ano anterior ao da realização do Congresso. Ou seja: a medalha Fields, destinada a reconhecer trabalhos matemáticos excepcionais, é um prémio para pessoas relativamente jovens. Por exemplo, Andrew Wiles, que nos anos 90 demonstrou o “Último Teorema de Fermat”, recebeu muitos prémios, mas não a medalha Fields, por causa da idade.

Os premiados com a medalha Fields são escolhidos por comissões nomeadas pela União Matemática Internacional. Os nomes dos membros dessas comissões, desde que a medalha foi atribuída pela primeira vez, formam uma lista que é um verdadeiro who’s who da Matemática mundial no século XX.

As primeiras duas medalhas Fields foram entregues em 1936, no Congresso de Oslo. As duas seguintes em 1950, em Paris. A partir de 1966, o número máximo de medalhas a atribuir em cada Congresso subiu para quatro e, desde então, o número de premiados tem variado entre dois e quatro (o total é de 48 em 70 anos). Em Madrid foram quatro: além de Terence Tao, Andrei Okounkov, Wendelin Werner e Grigori Perelman. Na altura, os media de todo o mundo encheram-se de notícias sobre um dos medalhados, Grigori Perelman, não tanto pelas contribuições científicas como pelas suas características pessoais, algo excêntricas, que culminaram na recusa da medalha.

Nas semanas anteriores ao Congresso de Madrid, Perelman era uma aposta óbvia para a medalha, por ter provado a famosa conjectura de Poincaré. Mas também a medalha de Tao era mais do que esperada, pelos resultados espectaculares em várias áreas que tinha obtido nos anos anteriores. A um colega que – apostando ele próprio em Perelman e Tao – me desafiou para uma opinião respondi que seriam dadas quatro medalhas: uma a Perelman e três a Tao. A razão era simples: Tao era autor não de um mas de vários trabalhos matemáticos excepcionais, alguns dos quais resolvendo problemas antigos e difíceis.

A citação oficial que acompanhou a atribuição da sua medalha explicita algumas dessas contribuições. A primeira, e a mais famosa, é um trabalho sobre números primos. Há muito tempo que se observou que a sucessão dos números primos contém progressões aritméticas – isto é, sequências em que a diferença entre cada número e o seguinte é constante – de vários comprimentos. Por exemplo, 3, 5, 7 é uma progressão aritmética de comprimento três. Outra é 3, 7, 11. É muito difícil encontrar progressões aritméticas nos primos, e a maior que actualmente se conhece tem comprimento 24. O que Tao provou, em colaboração com Ben Green, foi que, na sucessão dos números primos, existem progressões aritméticas de qualquer comprimento (a demonstração não é construtiva, isto é, não exibe explicitamente tais progressões).

A segunda contribuição referida refere-se a trabalhos de Tao sobre o problema de Kakeya, outra questão famosa que começa com uma pergunta muito simples: se num plano fizermos uma agulha rodar 180º (continuamente e admitindo translações), qual é a menor área possível percorrida pela agulha? Este problema está resolvido há 80 anos (faça o leitor algumas experiências, e depois informe-se sobre a solução, que é muito surpreendente.) Tao investigou profundamente a generalização do problema para n dimensões, que tem ligações com importantes áreas da Matemática.

A terceira e a quarta contribuições de Tao mencionadas na citação oficial são trabalhos mais próximos da Física, respectivamente sobre relatividade geral e versões não lineares da equação de Schrödinger.

No fim da citação é referido outro trabalho notável de Tao: em colaboração com Allen Knutson, ele resolveu completamente, usando técnicas combinatórias, o problema da descrição dos valores próprios possíveis da soma de duas matrizes simétricas quando se conhecem os respectivos valores próprios. Este trabalho, conjugando resultados anteriores de Andrei Zelevinsky e Alexander Klyachko, permitiu responder afirmativamente a uma conjectura que Alfred Horn fizera em 1962.

Com dois colegas de Coimbra, passei bastante tempo, nos anos 90, a pensar na conjectura de Horn. Tendo feito alguns progressos, e tendo sabido da importante contribuição de Klyachko, decidimos organizar um encontro em Coimbra sobre o assunto, no Verão de 1999. Já a organização estava em andamento quando soubemos, em finais de 1998, dos resultados espectaculares de Knutson e Tao. Logo os convidámos a vir participar no encontro. Ainda me lembro da mensagem que enviei a Tao, que começava com “Dear Professor Tao”. Não sabia então que, do outro lado do correio electrónico, em Los Angeles, estava um jovem de 23 anos, doutorado aos 20. Ele acabou por me dizer que não podia vir, mas estiveram no encontro Zelevinsky, Klyachko e Knutson, os outros protagonistas do assalto final à conjectura de Horn.

Tao tem mais trabalhos de grande impacto. Uma investigação cujas consequências poderão um dia chegar às mãos do leitor é a que realizou, em colaboração com Emmanuel Candès, sobre técnicas de compressão de imagens ou, mais geralmente, sobre a substituição inteligente – com uma nova técnica a que chamaram compressed sensing – de enormes colecções de dados por conjuntos mais pequenos contendo o essencial da informação. Uma aplicação possível – em relação à qual o próprio Tao é um pouco céptico – será à concepção de máquinas fotográficas digitais com um processamento das imagens mais eficiente.

Sobre Terence Tao já muito foi escrito, em particular sobre a sua extraordinária capacidade para resolver problemas difíceis em áreas muito diversas, normalmente em colaboração com especialistas nessas áreas. A citação da medalha Fields fala mesmo de “um engenho do outro mundo” e de “um ponto de vista surpreendentemente natural que deixa outros matemáticos a perguntar: porque é que ninguém se lembrou daquilo antes?”. A página de Tao na Internet é um prodígio de criatividade e transmissão de ideias novas, que vale a pena consultar (incluindo um blog matemático mantido com regularidade, tanto em posts como em respostas a comentários e perguntas): por alguma razão já lhe chamaram o “Mozart da Matemática”.

Há muitos clichés sobre os grandes matemáticos e a sua vida. Mas mesmo quem, como eu, não conhece Tao pessoalmente, facilmente se apercebe, por entrevistas e testemunhos, de que se trata de uma pessoa com uma vida normal, consciente dos seus talentos invulgares mas usando-os naturalmente – ele próprio gosta de insistir que o essencial em Matemática é o trabalho – e relacionando-se com maturidade e sem excentricidades com o mundo à sua volta.

Só depois do convite frustrado a Tao me apercebi de que se tratava da mesma pessoa que ficara famosa muito antes, em 1988, ao ganhar uma medalha de ouro nas Olimpíadas Internacionais de Matemática – uma competição extremamente exigente pensada para jovens no fim do Ensino Secundário – com 13 anos de idade e na sua terceira participação (em 1986, ainda antes de completar 11 anos, ganhara uma medalha de bronze, e em 1987 uma de prata).

Tanto Tao como os seus dois irmãos foram crianças e jovens excepcionalmente brilhantes e precoces, tendo sido acompanhados pelos melhores especialistas mundiais nesses casos. Terence, em particular, teve um percurso escolar delineado com cuidado pelos seus pais (uma professora de Matemática e um pediatra emigrados de Hong Kong para a Austrália) que lhe permitiu um progresso acelerado na disciplina de Matemática.

Aos 15 anos, já depois das suas três participações nas Olimpíadas Internacionais de Matemática, escreveu o livro que o leitor tem nas mãos. Nele coligiu vários problemas de Matemática, que organizou tematicamente em quatro capítulos, mais um com exemplos diversos (nomeadamente de combinatória). Antes dos quatro capítulos principais – sobre teoria dos números, álgebra e análise, geometria euclidiana, e geometria analítica – há um interessante capítulo sobre “Estratégias de resolução de problemas”, onde o autor analisa, com exemplos, vários princípios e regras gerais para abordar e resolver problemas de Matemática: compreender o problema, compreender os dados e o objectivo, escolher símbolos adequados, escrever o que se sabe, modificar o problema, ir provando alguma coisa, etc.

Numa entrevista que deu em 2006, Tao afirmou: “Quando eu era criança, tinha uma ideia romântica da Matemática, a ideia de que os problemas difíceis eram resolvidos em momentos ‘Eureka’ de inspiração.” Depois, acrescentou: “Hoje, comigo, é sempre assim: ‘Vamos tentar esta ideia. Isso leva-me a algum progresso, ou então não funciona. Agora tentemos aquilo. Oh, há aqui um pequeno atalho.’ Trabalhamos durante tempo suficiente e, a certa altura, conseguimos progredir num problema difícil entrando pela porta das traseiras. No final, o que normalmente acontece é: ‘Olha, resolvi o problema.’” É este tipo de atitude e de estratégia que está presente logo no primeiro capítulo do livro.

Os problemas que Tao analisa ao longo desta obra são do tipo dos que se encontram nas Olimpíadas de Matemática: são elementares no que se refere ao nível dos conhecimentos matemáticos necessários, mas exigem reflexão e engenho para a sua resolução. Com grande clareza, Tao explica como resolver os problemas seleccionados, discute estratégias, exemplifica truques comuns. Depois inclui, como exercícios, problemas que o leitor pode e deve experimentar por si mesmo.

O público para um livro destes é formado por quaisquer pessoas, em particular jovens, que gostem de Matemática e estejam dispostas a fazer algum esforço mental. Essas pessoas achá-lo-ão interessante, útil e formativo.

Esqueça o leitor que o autor deste livro tinha 15 anos quando o escreveu. A idade não é importante para a Matemática. Esqueça também tudo o que sabe sobre o passado de “criança-prodígio” do autor. Os raciocínios podem ser os os mesmos para todos. Concentre-se apenas na Matemática.

A excelente tradução de “Como resolver problemas matemáticos” deve-se a Paulo Ventura Araújo, matemático da Universidade do Porto, que é autor de um bom “Curso de Geometria”.

Fala-se muito na crise do ensino da Matemática em Portugal, mas de vez em quando convém prestarmos atenção às coisas positivas. Entre elas está decerto o facto de muitos jovens portugueses gostarem de Matemática. Para esses jovens, poucos livros serão melhor escolha do que este. Leiam-no, acompanhem o jovem autor nos seus desafiantes problemas, nos seus engenhosos raciocínios, nas suas inesperadas soluções. Dificilmente poderiam estar em melhor companhia.

João Filipe Queiró