Mecânica Quântica Tornada Fácil. O Jogo

Mais um post convidado de Luís Alcácer esclarecendo alguns detalhes do «jogo» quântico.

Nosotros (la indivisa divinidad que opera en nosotros)
hemos soñado el mundo. Lo hemos soñado resistente,
misterioso, visible, ubicuo en el espacio y firme en el
tiempo; pero hemos consentido en su arquitectura tenues y
eternos interstícios de sinrazón para saber que es falso.

J. L. Borges, Avatares de la tortuga, in Discusión, pag. 136,
[Obras completas, Vol. I, EMECÉ, Buenos Aires ]

O meu último post conseguiu um dos seus objectivos, que era o de provocar uma controvérsia. Não conseguiu o objectivo principal que era o de contribuir, pouco que fosse, para desmistificar os tabus da MQ. Alguns dos comentários que suscitou levaram, com certeza, muitas pessoas a fugir da MQ a sete pés. Agradeço aos que fizeram comentários positivos e aos que fizeram críticas construtivas. Não esperava despertar os obstinados "trolls" de serviço, escondidos, de rabo de fora. Quem conhece a língua de Aquilino e de Torga, e leu o meu texto com atenção, percebeu o que pretendia. O bom observador também terá notado o ponto de interrogação na figura do meu gato (de Schrödinger).

Para atingir os objectivos que me propus, de introduzir as regras (postulados) da MQ e deles retirar alguns dos conceitos fundamentais, não preciso de condições de quantização envolvendo infinitos, nem de análise de Fourier, nem de teoria de grupos. E creio que "vectores" e "números complexos" ainda são do programa do ensino secundário.

Certas experiências são suficientemente simples para poderem ser feitas num laboratório rudimentar. A título de exemplo, poderiam introduzir-se os conceitos de estado e de sobreposição de estados, para fotões, usando apenas um laser (dos que se compram na loja dos chineses) e algumas folhas de plástico polaroid. Podem encontrar-se kits na internet por cerca de 30 dólares.

Tendo em atenção uma das críticas construtivas vou tentar ilustrar as minhas regras do jogo com alguns exemplos.

Transcrevo a 1ª regra: Num dado instante o estado de um sistema físico é especificado por um elemento (pode ser vector ortonormado) chamado "estado", que satisfaz as regras de uma álgebra linear, e é representado por um símbolo x. Quando observo uma moeda que atirei ao ar e caiu com a face caras para cima, digo que o "estado" da moeda é "caras" ou x. Classicamente, a moeda, ao cair, só pode assumir um dos dois estados x e y. Em MQ, deve considerar-se ainda um estado intermédio, u, que é a soma ou sobreposição dos dois estados e se representa por u = ax + by, em que a e b são números. Isso é matematicamente correcto, porque numa álgebra linear, qualquer dos seus elementos pode sempre ser escrito como uma soma de outros (é o caso dos vectores).

Exemplos:

Suponhamos que lanço uma moeda ao ar, a qual depois cai sobre uma mesa.

i) Na perspectiva da física clássica e da teoria de probabilidades, a probabilidade de cair caras é 50% e a de cair coroas também de 50%. A situação é ilustrada na figura, na qual, em cima, se mostra apenas uma das faces da moeda, (podendo ser a outra). Se tirasse uma fotografia instantânea à moeda quando ela estivesse no ar, teria 50% de probabilidade de ver caras e 50% de ver coroas.

ii) Admitamos que, para efeitos do jogo, (que pretende ser apenas uma metáfora da MQ, e não uma analogia) quando atiro a moeda ao ar, há alguns instantes em que a moeda (ou os deuses ou Deus) ainda não decidiu para que lado cairia. Durante esses instantes assume-se que a moeda está num estado não definido do tipo u = ax + by, mais concretamente u = 0.7071 x + 0.7071 y; em que x (caras) e y (coroas) são os dois únicos estados possíveis (em que a moeda pode cair) e ignoro todos os outros atributos da moeda. Qual é a probabilidade de, num único lançamento, observar o resultado caras?

Segundo a 1ª regra, a probabilidade de cair caras é a² = 0.7071² ou seja 0.500 (i.e., 50%). Identicamente a probabilidade de obter coroas é b² = 0.7071² (0.500 ou 50%).

Naturalmente que a soma é 1, na medida em que a moeda tem de cair numa das duas posições (excluindo, por agora, a possibilidade de cair em pé). Essa condição que não foi explicitada nas regras, é uma consequência da lógica do problema, e está formalmente implícita quando digo que os elementos da álgebra (p.ex., vectores) são ortonormados.

Suponhamos agora que a moeda era defeituosa e que teria maior tendência para cair para o lado coroas. Tal situação poderia ser descrita por um elemento como, por exemplo, u = 0.500 x + 0.866 y, o que daria as probabilidades de cair caras ou coroas de 25% e 75% respectivamente.

Admitamos ainda que a moeda poderia cair em pé. Então deveria considerar-se um terceiro estado possível, por exemplo, w (em pé). Se antes de cair, a moeda fosse descrita pelo estado u = 0.7068 x + 0.7068 y + 0.030 w, então as probabilidades de cair respectivamente caras, coroas e em pé, seriam aproximadamente 0.7068² = 0.4996 (49.96%), 0.7068² = 0.4996 (49.96%), e 0.030² = 0.0009 (aproximadamente 1 por mil). As mesmas condições de a soma de todas as probabilidades ser 1, são aplicadas.

Como se vê, neste caso, o resultado da MQ é idêntico ao da mecânica clássica com o cálculo de probabilidades clássico. Não temos até agora maneira de distinguir se o comportamento é clássico ou quântico. Mas podemos modificar um pouco a experiência imaginária (thought experiment) de modo a distinguir entre uma situação quântica e a correspondente situação clássica.


Para não sobrecarregar o blog, convido as pessoas interessadas a fazer o download do texto completo deste exercício que pode ser encontrado aqui.

Luís Alcácer