A fórmula mágica de Dirac

Dirac, um dos fundadores da mecânica quântica, mas homem de poucas falas, participava frequentemente, na High Table do St John's college da Universidade de Cambridge, em jogos matemáticos que não serviam para nada excepto para entretenimento. Conta-se que um dia deu uma exibição devastadora num jogo que tinha aprendido na universidade de Götingen em 1929. O desafio consistia em exprimir qualquer número usando o algarismo 2 exactamente quatro vezes, recorrendo apenas a símbolos matemáticos bem conhecidos.

Os primeiros números são fáceis:

Às tantas o jogo tornava-se muito mais difícil, mesmo para as mais apuradas mentes matemáticas de Götingen.  Passavam horas nesse jogo, cada vez com números maiores, até que Dirac encontrou uma fórmula simples e geral que lhe permitia exprimir qualquer número usando quatro 2s, completamente dentro das regras do jogo.  A partir daí o jogo perdeu o interesse. 
A fórmula de Dirac era a seguinte:

em que log_2 é o logaritmo na base 2 e os (…) significam o uso de n raízes quadradas dentro umas das outras.
Dirac matou assim o jogo usando apenas três 2s. Os símbolos da fórmula são vulgares em matemática, de modo que a solução de Dirac satisfazia as regras do jogo.
Também é possível escrever a fórmula usando o algarismo 2 exactamente quatro vezes: