When false dichotomies are neither false, nor dichotomous
http://rationallyspeaking.blogspot.com/2013/01/when-false-dichotomies-are-neither.html
When you prove, say, the Pythagorean theorem, you don't go around measuring a bunch of triangles, you begin with certain axioms and background conditions (e.g., declaring that you are working within Euclidean geometry), and then logically deduce the theorem. What's empiricism got to do with it?Here Quine, to put it boldly, just cheated his way out of the problem. He began by saying that math was really a type of science, after which he argued that he was primarily concerned with applied math, which clearly makes contact with science and the empirical world. Yes, but most math is not applied, and even the part that is, isn't derived from science, it applies to science. Then he argued that math as a whole is justified by the fact that a part of it makes contact with the empirical world. That would surprise the hell out of mathematicians and philosophers of mathematics, and frankly, amounts to a lot of handwaving to save an extreme form of holism about knowledge that is ultimately untenable. Mathematics remains a very good example of analytic truth, pace Quine. And so does logic, by the way.
(via Instapaper)
12 comentários:
We are surrounded by mathematics, just try to apply it. We can begin with our own body :)
Teorema de Pitágoras
Pitágoras continuava com o problema que não conseguia resolver. E não parava mais em casa. Pensava e continuava a pensar.
A mulher, Nusa, aproveitava-se
da situação e transava com 4 cadetes do quartel ao lado.
Um dia, Pitágoras, cansado, voltando mais cedo para casa, apanhou a Nusa em flagrante e matou os 5, que faziam uma orgia.
Na hora de os sepultar a todos, em consideração à esposa, dividiu o cemitério ao meio, em 2 quadrados iguais.
Num deles enterrou a mulher.Depois, dividiu em 4 partes iguais o outro lado e enterrou
cada cadete num desses quadrados menores.
Subiu, então, ao monte ao lado do cemitério para meditar e, olhando
de cima para o cemitério, achou a solução do seu problema.Era óbvio!:
O quadrado da putaNusa é igual à soma dos quadrados dos catetos...
Galois
Na minha opinião, no seguimento de posts prévios, a matemática é ciência simplesmente por tentar argumentar os seus resultados com demonstrações baseadas na lógica tentando-os afastar do universo das opiniões. É isso que sustenta a ciência: a tentativa (possível ou não, eficaz em certos casos ou não) de desligar os resultados da matéria subjectiva da opinião. Em suma, a ciência baseia-se na honestidade intelectual (que se distingue por não forçar caminhos em prol de opiniões do próprio, deste ou daquele). Isso basta-me.
«Then he argued that math as a whole is justified by the fact that a part of it makes contact with the empirical world.»
Esta frase é mais complexa. Como é sabido, na matemática são criados modelos e estruturas abstractas. A questão que se coloca é a de se saber se o ser humano é ou não capaz~de invenção pura. É o Homem capaz de inventar algo não se baseando consciente ou inconscientemente em algo que observou empiricamente. Eu gosto de acreditar que sim e, nesse caso, a natureza da matemática é muito mais profunda do que o ilustrado nesta opinião. Mas realmente a matéria é difícil.
Caro Galois,
Seja. Tendo a concordar com o 1° paragrafo, mas então caberia reconhecer que a filosofia é uma ciência, o que é controverso mesmo para os filosofos...
Tanto quanto percebo, a questão com a matematica, que é exactamente a mesma com a logica, consiste em saber se ainda estamos a falar de um conhecimento rigoroso que versa sobre uma realidade objectiva, apreensivel por qualquer pessoa dotada de razão de maneira mensuravel, ou seja que possa ser submetida à prova de uma realidade observavel por todos. Não sou grande perito em matematica mas, tanto quanto me lembro das aulas que tive sobre fundamentos da matematica, ha, entre os matematicos, quem procure restringir o objecto dessa "ciência" à construção de objectos que possam ser representados de maneira completa (mormente em geometria), o que é uma forma de "verificação experimental". Isto, julgo eu, é o que defendem os intuicionistas. O problema é que eles deixam de parte a grande maioria daquilo que se faz em matematica, por exemplo tudo o que assenta sobre demonstrações que impliquem verificações num campo inacessivel à experiência (por exemplo : se x é verdade para n, é também verdade para n+1).
Como disse, não sou especialista nessa matéria (desculpe portanto alguma provavel confusão) e penso que um matematico a par dos ultimos desenvolvimentos sobre a questão dos fundamentos da matematica poderia talvez dar-nos aqui uma ajuda.
Mas a questão leva-me à duvida seguinte : em que medida podemos continuar a falar do "rigor" caracteristico da ciencia, quando deixamos de poder verificar as nossas hipoteses submetendo-as ao teste da realidade ?
Isso não significa, claro, que não possa haver "rigor" em disciplinas que reflectem sobre dados diferentes da realidade objectiva (como por exemplo no dominio da ética), mas apenas a pôr em causa que essas disciplinas sejam ainda "ciência".
Finalmente, é um facto que mesmo a ética pode ser encarada, de um certo ponto de vista, como objecto de ciência. Por exemplo como um ramo da sociologia. So que me parece claro que essa optica não permite resolver, muito longe disso, todas as questões habitualmente levantadas em matéria de reflexão ética (ou de filosofia moral), nem sequer a maior parte delas. Logo, é redutor afirmar-se que a ética, ainda que praticada com rigor e com honestidade intelectual, seja uma ciência. O mesmo problema parece-me poder levantar-se para a matematica e para a logica.
Boas
A propósito de Ciência e explicações científicas, confesso que fiquei desiludido com a explicação - tema que acicatou a minha curiosidade! - sobre "Quem nasceu, primeiro, se o ovo se a galinha". Os intervenientes na RTP, foram uma criança que punha as questões e Carlos Fiolhais que respondia. As respostas creio que não satisfizeram a criança nem a mim. CF disse que era óbvio que foi o ovo, rematando que já os dinossauros punham ovos... Fraco remate, na minha opinião. É que lançou o problema para trás das costas. Faltou à criança tempo ou discernimento para argumentar: "E, então, os ovos dos dinossauros"?! Esperava que CF fosse mais profundo e convincente, indo, em linguaem acessível, até ao campo da diferenciação das espécies e dos métodos que cada uma "inventou/descobriu" para se propagar e não se extinguir, campo riquíssimo de investigação científica, falando de todos os seres vivos, animais e plantas. Espero que o faça numa próxima oportunidade e, já agora, que convide a mesma criança para lhe dar uma explicação realmente científica e convincente!
Galois
«em que medida podemos continuar a falar do "rigor" caracteristico da ciencia, quando deixamos de poder verificar as nossas hipoteses submetendo-as ao teste da realidade ?»
É comum na matemática partir-se de uma axiomática (sabe-se bem o que é considerado «boa axiomática») para demonstrar resultados matemáticos (teoremas).
A demonstração baseia-se na lógica. É a demonstração o utensílio que usamos para basear os resultados em algo não relativo a questões de opinião. É por isso que a demonstração é algo vital para que se considere a matemática uma ciência.
O rigor vem também daqui. As demonstrações são baseadas nas regras da lógica que são aceites pela generalidade dos matemáticos (e outros cientistas e não cientistas). A demonstração é isso mesmo: «demonstrar», «fazer ver». A pessoa que é alvo da demonstração e a percebe «passa a ver» e tem o sentimento de que questões de opinião passam a não ter nenhuma relevância. Há demonstrações mais elegantes e mais feias para o mesmo resultado. Mas se uma demonstração é correcta logicamente torna-se em algo à prova de bala (ainda que seja feia e com pouca classe).
O teste da realidade é outra coisa. Surge da pergunta, «será a axiomática consistente?» A única forma de se garantir a consistência de uma axiomática é apresentar um modelo a que se aplique a dita axiomática. E aqui surge a questão vital: o modelo virá sempre do mundo real? ou, em última análise, o modelo terá sempre base em algo que o ser humano observou? Não poderá ser um modelo ou uma estrutura inventada ser 100% desligada da realidade (e sem nenhuma inspiração na realidade)?
Se a resposta a esta última questão for «não», em última análise a matemática, tal como todas as outras ciências, baseia-se em estruturas (ainda que muito finas) da realidade. Nesse sentido vai o post. Se a resposta for «sim», a matemática poderá ser uma ciência exacta desligada do mundo empírico.
Poderá perguntar-se «mas não há exemplos de modelos inventados em nada baseados no mundo real?». O problema é que esta pergunta é daquelas que poderá sobreviver para sempre. É claro que, por mais puramente inventado que pareça um modelo, é quase sempre possível vislumbrar fundamento em alguma coisa da realidade. Em certos casos, seremos nós a forçar o fundamento ou ele está mesmo lá? O ser humano está impregnado de realidade pelo que a questão é daquelas mesmo torcidas... Mais um excelente assunto para os filósofos.
Caro Galois,
Muito obrigado pela sua resposta, sensata e precisa, como sempre. Como ja disse acima, tendo a concordar com a sua posição. No entanto, ainda não tenho a certeza de que ela consiga resolver as questões que coloquei. Por exemplo :
1. Se v. entende por "axiomatica" um conjunto de principios não demonstraveis com caracteristicas idênticas aos axiomas utilizados em matematica, então v. tem razão, mas o seu raciocinio é um pouco circular : nesse caso, não existe ciência que não seja um ramo da matematica aplicada e, por isso mesmo, a matematica ja sera mais do que a propria ciência (uma espécie de gramatica do espirito cientifico). Em contrapartida, se v. der um sentido um pouco mais lato à palavra "axiomatica", admitindo que possam existir axiomas não matematicos, vamos ter de concluir, por exemplo, que o direito satisfaz plenamente a sua definição (também existem principios fundamentais, também se usa a demonstração, a qual também se baseia na logica, etc.). Logo o direito seria, também ele, uma ciência ? Não me parece...
2. Diz v. que a demonstração (matematica) se baseia na logica. Bom, v. sera com certeza melhor matematico do que eu, ou não teria escolhido esse pseudonimo ! Mas não tenho a certeza de que isso seja bem assim. Ensinaram-me mesmo que, muito pelo contrario, os esforços levados a cabo por matematicos para conseguir demonstrar os fundamentos logicos da sua disciplina sairam gorados até hoje. Não é isso que nos dizem (mais ou menos) os teoremas de Gödel ? Mas pode acontecer que eu não tenha bem compreendido essa parte.
3. Diz ainda v., a pensar na matematica (suponho eu), que "sabe-se bem o que é considerado «boa axiomática»". Pois bem, admitamos que alguns matematicos (os intuicionistas, por exemplo) acham que esta axiomatica deve em grande parte ser abandonada. Nessa hipotese, em que ficamos ? A matematica deixa de ser uma ciência ? Os matematicos contestatarios deixam, no momento em que contestam, de estar a fazer matematica ? Ou então são eles que, doravante, devem ser considerados os unicos a fazer verdadeiramente matematica ?
4. Mesmo pondo de parte as objecções aqui em cima, vejo uma que julgo poder ser determinante : se v. caracteriza o "rigor" como sendo o que permite distinguir a "mera opinião" do "resultado cientifico", e se associa esse rigor ao uso da razão, como pode v. conceber que a razão se possa objectivar, a não ser numa realidade exterior aos seres racionais ? A menos que v. esteja a defender que, no limite, para os logicos e os matematicos por exemplo, a razão se confunda com uma espécie de intuição universal...
Boas
Galois
As questões são difíceis e interessantes e eu não estarei certamente à altura delas. Mas lá vai uma tentativa de avanço:
1. Sim, estou a falar dos axiomas utilizados em matemática.
Toca num ponto sensível que consiste em determinar os aspectos que distinguem a matemática das outras ciências. Abordarei certamente o tema no futuro. Tenho opiniões fundamentadas sobre essa temática. Mais outro assunto vasto e, em certos pontos, não consensual…
2. Os teoremas de Gödel não colocam em causa os princípios da lógica. O que mostram é que há problemas tortuosos com a completude das axiomáticas. Imaginemos que temos um universo que queremos enquadrar à luz de uma axiomática. Para que esta seja «boa» (e isto relaciona-se com 3), é necessário não ser contraditória (não pode gerar contradições como provar-se A e NãoA em relação a esse universo) tem de ser económica (não podem haver axiomas demonstráveis a partir dos outros ou não seriam axiomas) e devemos querer que seja completa. Ser completa significa ser possível demonstrar-se a falsidade ou a veracidade de cada afirmação feita sobre objectos do dito universo. Ora, o que Godel veio mostrar é a misteriosa existência de indecidíveis sobre os quais não é possível, com qualquer axiomática, demonstrar-se a veracidade nem a falsidade. Isto foi uma bomba, mas não coloca em causa as regras lógicas com que se demonstram coisas. Coloca em causa, isso sim, a plena eficácia das axiomáticas. Em suma, veio dizer que para certos universos não há nenhuma axiomática completa; há sempre indecidíveis (daí os teoremas de Gödel serem chamados teoremas da incompletude). Isto abanou a matemática… Mas, como digo, não é nos processos lógicos das demonstrações que surge o problema.
3. Toca noutro ponto importante que é o de saber se todos os tratamentos matemáticos se devem reduzir a axiomáticas. Também é vasto. Terei gosto em opinar com alguma fundamentação futuramente.
4. O "rigor" tenta alcançar algo mais do que opiniões relativas. O êxito é outra conversa, o método é tudo. A ciência tem de se basear num método que tente alcançar com honestidade intelectual tal coisa (independentemente do sucesso ou insucesso da tarefa). De uma forma ou de outra, como diz, isto traz a questão da universalidade. Eu acredito na universalidade de algumas das nossas conclusões. Ou seja, por exemplo, acredito que se o Sol explodir amanhã, algumas conclusões que conseguimos, com ajuda da razão e da lógica, sobre a natureza do número pi continuarão válidas. Numa circunferência cabem mais do que 3 diâmetros e menos do que 4 diâmetros; cabem 3,1415… diâmetros (até sabemos coisas sobre a natureza do número, que é irracional, transcendente, etc.). Arquimedes utilizou exclusivamente a razão para obter algum rigor sobre esta constante. Devido à natureza da ferramenta (lógica e rigor demonstrativo), estou certo que resistirá ao teste da humanidade. Quando não houver Homem, o número de diâmetros a caber numa circunferência permanecerá o mesmo e continuará compreensível e alcançável através da razão por quem seja capaz de o fazer. Sim, acredito que na universalidade da razão.
Para Galois
Pouco sabendo de matemática, de filosofia e, enfim, de tudo o resto, é um gosto ler tudo o que escreve, e como escreve: claro, sereno, rigoroso, sucinto, honesto e, talvez por isso, sem a presunção de "dono da verdade". Para mim a atitude mais bela de quem pensa, busca e dialoga.
Julgando aprender alguma coisa, e apreciando sobremaneira as questões que levanta (ou com que se interroga), deixo-lhe um obrigado.
Caro Galois,
Agradeço mais uma vez as suas respostas, sempre finas e didacticas (em particular acerca dos teoremas de Gödel).
Da minha parte, chego ao ponto em que o tempo de reflexão deixa de ser compativel com o tempo de resposta usual num blogue. Mas noto que o meu amigo anuncia querer voltar ao tema. Espero assim ter de novo o prazer de o ler sobre esses assuntos.
Quanto ao resto, se alguém não esta à altura do debate, sou eu. Alias, precisamente por essa razão, vou abster-me de concluir, deixando-o antes com uma frase escrita por um filosofo de quem não sei quase nada (a não ser que é autor da dita frase, o que ja é muito aos meus olhos) que exprime bem a minha perplexidade sobre as questões que temos evocado :
“Deitem a metafisica para o lume e a ciência não tardara a ir ter com ela no meio das chamas. Preservem a ciência das chamas e, subrepticiamente, verão que a metafisica aparece de volta” (J. Passmore)
Boa continuação a todos
Galois
Eu também lhe agradeço. Gosto deste tipo de discussão.
A natureza da matemática é um assunto fascinante. É certo que haverá novos posts para debater o assunto.
Regra geral, visito e leio os posts do RN. Tendencialmente entro nos comentários dos posts do DMurcho uma vez que alguns temas estão próximos de preocupações que tenho e a forma como os posts são colocados ajuda a discussão. Tenho a certeza que este assunto surgirá novamente.
Até breve,
Reparo agora num lapso no primeiro parágrafo deste meu comentário, que deveria ter-se iniciado assim:
"Pouco sabendo eu de matemática, de filosofia e"... etc.
Apresento desculpas.
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