As fatias do bolo-rei

Do novo livro de Nuno Crato, "A Matemática das Coisas" (Gradiva), que saiu ontem, no Dia Mundial do Livro, transcrevemos um dos capítulos. Esperamos que abra o apetite para o resto!

«Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte ou é tolo ou não tem arte», diz um ditado popular. É verdade: se a pessoa a fazer a divisão for também a que fizer a escolha, nada garante que um dos parceiros não fique prejudicado. Por isso, e para evitar que alguém se possa queixar do resultado da partilha, o melhor é proceder em duas etapas: um dos parceiros divide o bolo e o outro escolhe a sua fatia. Desta forma, é do interesse do primeiro fazer a divisão da forma mais equitativa possível, pois, se assim não acontecer, terá a certeza de ficar com o pior bocado. É uma sábia conjugação de situações, pois os dois parceiros, afinal ambos movidos pelo egoísmo, colaboram de forma que nenhum fique prejudicado.

A história é muito conhecida e aplicada em muitas situações do dia-a-dia, e não só na divisão de guloseimas entre crianças. O problema complica-se, contudo, se o bolo tiver de ser dividido entre mais de dois parceiros. Como se há-de fazer se forem três, por exemplo? Ou se forem muitos mais? E se tivermos um bolo a dividir entre vinte pessoas igualmente gulosas? O problema não é simples e os matemáticos têm vindo a desenvolver algoritmos para partilhas equitativas. Esses algoritmos podem ter aplicações em áreas muito diversas, desde a partilha de heranças e a divisão de obrigações pecuniárias até às negociações de desarmamento ou ao estabelecimento de fronteiras entre países.

O algoritmo «um parte, outro escolhe» pode aplicar-se a mais de dois parceiros. Se tivermos quatro pretendentes a um bolo, por exemplo, o algoritmo desdobra-se em duas etapas. Começa-se por agrupar os pretendentes ao bolo em dois grupos, com dois elementos em cada grupo. Um dos grupos divide o bolo em duas partes e o outro escolhe a sua metade. Na segunda etapa, cada par de gulosos divide a sua metade de bolo ao meio, seguindo de novo o processo de um partir e o outro escolher.

É fácil ver que este método iterativo pode funcionar igualmente para oito pessoas ou, em geral, para potências de dois. Mas já não é tão simples encontrar uma solução no caso de haver três pessoas. Mas pensando bem, consegue arranjar-se um método que funcione nesse caso. Quer o leitor dar uma sugestão?

Os matemáticos, contudo, não gostam de soluções que apenas funcionam para casos particulares, pelo que têm procurado algoritmos mais gerais. O ideal seria encontrar um método que funcionasse com qualquer número de pessoas. Um desses métodos, proposto pelos matemáticos polacos Stefan Banach (1892–1945) e Bronislaw Knaster (1893–1980), resolve o problema com um número qualquer de parceiros. É o chamado algoritmo da faca deslizante. Este caso é mais fácil de perceber com um bolo sobre o comprido, como um bolo inglês.

Os diversos pretendentes às fatias do bolo reúnem-se à sua volta enquanto uma pessoa, possivelmente um deles, pouco importa, começa a fazer deslizar a faca sobre o bolo, a partir de um dos lados. Vai progredindo com a faca até que um dos parceiros diga «Pára!». Nesse momento pára a faca e corta uma fatia, que é entregue a quem falou. O parceiro em causa fica assim com uma parte que considera ser, pelo menos, uma fracção justa do bolo — se pensasse que a faca não tinha ainda chegado a essa fracção justa, não a teria reclamado. Os outros, por seu lado, vêem ser retirada ao bolo uma quantidade que consideram ser inferior ou igual a uma fracção justa — se algum deles achasse que a faca tinha já ultrapassado o momento certo, deveria ter reclamado a fatia correspondente.
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Como dividir um bolo rei?

Para dividir equitativamente um bolo homogéneo por um número arbitrário de pessoas pode utilizar-se o algoritmo da faca deslizante. Uma pessoa desloca uma faca sobre o bolo até que um dos parceiros diga «Pára!» e reclame a fatia de bolo correspondente. O processo prossegue até que novo parceiro reclame nova fatia, e assim sucessivamente, até que o bolo esteja dividido por todos.
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Depois de ter recolhido a sua fatia, o primeiro parceiro afasta-se do jogo, enquanto a faca continua a deslizar, até que um dos restantes parceiros diga «Pára» e recolha a sua fatia. O processo repete-se até restarem apenas dois parceiros.

Nessa altura, o primeiro a falar é o que fica com a fatia reclamada e o último fica com o restante. O interessante neste processo é que, mesmo admitindo a falibilidade de todas as pessoas, nenhuma delas pode reclamar que está a ser prejudicada. Se o está, é por sua culpa, pois não terá falado a tempo, ou terá falado cedo de mais, sem ninguém a ter obrigado a isso.

Este método parece perfeito, mas deixa de fora alguns casos interessantes. Funciona para um bolo homogéneo, mas funcionará para um bolo com constituintes diversos e irregularmente distribuídos, como é o caso do bolo-rei? Será possível arranjar um algoritmo que garanta que todos fiquem com igual quantidade de abóbora cristalizada, de pinhões, de passas e de massa? A resposta a esta questão foi dada por um teorema que o matemático polaco Hugo Steinhaus (1887–1972) demonstrou nos anos 40 e que veio a ser conhecido pelo curioso nome de teorema da sanduíche de fiambre.

Considere-se um objecto tridimensional com três componentes, por exemplo, uma sanduíche com pão, queijo e fiambre — pouco importa que esses componentes estejam bem ou mal distribuídos, se concentrem em lados diferentes ou estejam uniformemente espalhados. O que esse teorema prova é que há sempre um plano que divide o objecto em duas partes de tal maneira que cada uma delas contenha igual quantidade dos três componentes. Ou seja, mesmo que o fiambre e o queijo estejam mal espalhados, há sempre uma maneira de cortar a sanduíche em dois bocados rigorosamente iguais.

Quando se considera um objecto bidimensional, já a partição equitativa apenas funciona com dois componentes. Suponha-se que se espalha sal e pimenta numa mesa, por exemplo. O teorema de Steinhaus mostra que há sempre uma recta que divide a superfície da mesa em duas partes que têm iguais quantidades de sal e de pimenta. Se houver três ingredientes, suponhamos sal, pimenta e açúcar, é fácil imaginar uma concentração em três locais diferentes de tal forma que não haja linha recta que os divida de forma equitativa. De forma geral, o teorema diz que em n dimensões há sempre um hiperplano que divide simultaneamente ao meio n componentes. Como parece que vivemos a três dimensões e o bolo-rei tem muito mais de três constituintes, ficamos a saber que não há faca que os reparta todos equitativamente.