Matemática como embrulho de uma tragédia

O teorema de Bayes é uma peça importantíssima da matemática. Ele estabelece a forma como o conhecimento nos ajuda a eliminar as incertezas. Formalmente, define o conceito de probabilidade de um evento condicionada ao conhecimento da probabilidade de um outro evento. Por exemplo, se soubermos que um bebé vai nascer daqui a um minuto, temos um valor de probabilidade de ele nascer louro. Mas se ambos os pais forem louros, a probabilidade condicionada a esse conhecimento já nos dá um valor "mais certo".

O que é que isto tem a ver com o embrulhos e tragédia? Primeiro temos que entender a gestão de crédito. Para os bancos emprestarem dinheiro para pequenos créditos, como crédito à habitação, a conta que fazem é relativamente simples. Juntam os créditos numa carteira em que sejam mais ou menos iguais em montante e destino. Sabem que desses clientes vão existir alguns que não vão conseguir pagar o empréstimo até ao fim, faz parte do negócio. Importante é que o lucro obtido com os demais clientes que pagam seja suficiente para cobrir o empréstimo daqueles que não pagam e pagar o serviço (é daqui que se define a taxa de juro do empréstimo).

Assim, torna-se particularmente importante saber quanto é que se prevê perder em empréstimos cujos clientes não têm possibilidade de pagar. Matematicamente, fazem-se algumas simplificações. Primeiro, admite-se que a probabilidade de um cliente incumprir é uma distribuição normal com um dado desvio padrão(*).

Depois, admite-se que a distribuição do montante perdido em cada incumprimento é independente do evento do incumprimento em si. A perda no incumprimento é a razão entre aquilo que se consegue cobrar ao cliente ( hipotecas, outras garantias) e aquilo que o cliente deve. A média da distribuição do incumprimento, multiplicado pela perda no incumprimento, dá-nos a perda esperada e esta dá o spread que peço aos clientes que se segmentem nessa carteira(**).

Fácil, não é? Ora vamos pegar na segunda componente do risco, a perda no evento do incumprimento. Como os clientes entregam a casa como garantia do empréstimo, é só conhecer quanto vale a casa, isto é, a distribuição dos preços. Ora, vamos aplicar uma técnica chamada de inferência bayesiana, ou estatística bayesiana. Então partimos de uma distribuição uniforme, i.e., a probabilidade de perdermos tudo, parte ou nada é exactamente igual. E chamamos a essa distribuição de probabilidade "a priori" . Vem um novo evento de preço que nos traz mais conhecimento que tínhamos antes e vamos obter uma probabilidade de perda condicionada a esse novo conhecimento, a chamada probabilidade "a posteriori".

E assim sucessivamente, acumulando conhecimento e tento uma avaliação cada vez mais correcta. Certo? Errado! Quando assumimos que a a distribuição "a posteriori" é uma medida de probabilidade, isto é, com soma total igual a um, quando subimos a probabilidade de um evento, baixamos a probabilidade dos outros. Como nos Estados Unidos a evolução do preço das casas foi sempre a subir durante décadas, a probabilidade de descida era, na práctica, zero. Ora se a perda no incumprimento é zero, a probabilidade de incumprir pode ser tendencialmente um.

Ou seja, pode-se emprestar a quem se quiser que não há maneira de se perder dinheiro! Matematicamente, a crise do subprime nunca aconteceu. Então, saber nada era menos gravoso que saber alguma coisa? Na verdade, a validade da inferência bayesiana é tão apertada em pressupostos que a sua aplicabilidade fica reduzida a quase nada, mas é um papel de embrulho fantástico. E, como diz com propriedade o filosofo matemático trader NN Taleb, nós comemos tudo desde que venha embrulhado em sofisticação matemática. Hoje pensamos como é que é possível que se assuma tamanha estupidez, mas a verdade é que a matemática era "imbatível".

Todas as agências de rating(***) classificaram estas carteiras com AAA, não há risco mais baixo. Todos os reguladores do mundo as consideraram sem risco, incluindo o banco de Portugal e todos os auditores consideraram-nas excelentes investimentos. É possível então enganar toda a gente ao mesmo tempo, só precisamos de um embrulho fantástico e não há embrulho como a matemática. Com má matemática vende-se de tudo. A desonestidade, a causa que toda a gente gosta de apontar no caso do subprime, só serve para enganar alguns durante algum tempo e mesmo assim andam a enganar-se uns aos outros.

E não digo isto apenas por causa dos acontecimentos nacionais da semana.

(*) que deveria ter a ver com a correlação entre os vários devedores, mas isso é demais para o regulador/auditor típico, mas a normalidade já é um erro suficientemente grande
(**) decisões do tribunal contra os bancos vão cair inteirinhas nos spreads do novos clientes. Ou pensavam que saiam de borla?
(***) Aquelas de quem os professores de Coimbra fizeram queixa ao ministério público. Como andarão as investigações?