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Ouro, Prata, Bronze e Menção Honrosa para a Matemática Portuguesa no Pódio Olímpico

Miguel Santos volta a repetir o ouro conseguido em 2011.

O melhor resultado de sempre da matemática portuguesa em Olimpíadas Internacionais de Matemática (OIM): Uma medalha de Ouro, uma de Prata, duas de Bronze e uma Menção Honrosa.

A mais jovem equipa de sempre de matemáticos lusos que representou Portugal nas 53ª Olimpíadas Internacionais de Matemática (decorreram na Argentina, Mar da Prata, entre 8 e 15 do corrente mês), acaba de atingir um novo recorde numa prestação de excelência, a melhor de sempre:

Miguel Santos - medalha de OURO 

Miguel Moreira - medalha de PRATA 

João Nuno Lourenço - medalha de BRONZE 

Luís Duarte - medalha de BRONZE 

Francisco Andrade - Menção Honrosa

As 53ª OIM reuniram 550 participantes provenientes de uma centena de países.

Na hora de festejar

Recorde-se a constituição da equipa portuguesa: Francisco Tuna de Andrade (9º ano - Escola Secundária do Padrão da Légua, Matosinhos), João Nuno Pereira Lourenço (12º ano - Escola Secundária Filipa de Vilhena, Porto), Miguel Moreira (10º ano - Escola Secundária Rainha D. Amélia, Lisboa) e Nuno Miguel Arala Santos (9º ano - Colégio Nossa Senhora de Lourdes, Porto), Miguel Martins dos Santos (11º ano - Escola Secundária de Alcanena) e Luís Pedro Lopes Duarte (11º ano - Escola Secundária com 3.º Ciclo do Ensino Básico de Alcains).

A equipa lusa foi seleccionada a partir de um grupo de 24 medalhados das categorias A (8º e 9º anos) e B (do 10º ao 12º ano) das XXX e das XXIX Olimpíadas Portuguesas de Matemática.

A participação nas 53ª OIM foi organizada pela Sociedade Portuguesa de Matemática, e a seleção e preparação dos alunos esteve a cargo do Projecto Delfos, do Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra.

Joana Teles - http://www.spm.pt/joana_teles/

António Piedade

Livro de Nuno Crato em destaque na revista “The Mathematical Intelligencer”.

Crónica publicada na imprensa regional.

A edição inglesa do livro “A Matemática das Coisas – Do Papel A4aos Atacadores de Sapatos, do GPS às Rodas Dentadas”, de Nuno Crato, acaba de receber a atenção de uma excelente recensão crítica na revista “The Mathematical Intelligencer” (da editora de ciência Springer).

Refira-se que o livro “A Matemática das Coisas” foi primeiramente editado pela Gradiva, na sua colecção Temas de Matemática, nº 6, em 2008. Os direitos desta obra para a língua inglesa foram adquiridos pela prestigiada editora de ciência Springer Verlag que vem a publicar o livro em 2010 com o título “Figuring It Out: Entertaining Encounters with Everyday Math”. É uma edição de 227 páginas, incluindo as 36 ilustrações da edição portuguesa.

Pamela Gorkin, autora da recensão agora publicada na 1ª edição de Março de “The Mathematical Intelligencer”, tece as melhores considerações à obra de divulgação de matemática do actual Ministro da Educação e da Ciência, dando realce não só a algumas das cerca de cinquenta histórias fascinantes de e sobre matemática que se encontram reunidas no livro, mas também sobre o modo cativante com que Nuno Crato prende a atenção do leitor e o envolve na narrativa com o magnetismo dos grandes contadores de histórias.

A autora do artigo, professora de matemática na Universidade de Bucknell, em Lewisburg nos Estados Unidos da América, faz uma apresentação dos cinco capítulos que agrupam as 50 histórias do livro e sublinha que muitas delas têm o “condão” de atraírem pessoas para a beleza da matemática, a utilidade de mostrar que o nosso dia-a-dia está repleto de “coisas” com muita matemática, mesmo as secretas, as de ordem planetária, as que são tecidas com arte e geometria. 

Depreende-se da leitura da recensão que a autora ficou fascinada e muitas vezes presa ao fio narrativo que Nuno Crato imprime à forma como escreve. Sem muito esforço, o leitor experiencia viagens debruadas com o mistério e fascínio de como a matemática ajudou a resolver problemas concretos e situações de pessoas simples e reais, é uma das sensações agradáveis que acompanham a leitura do livro.

Segundo Gorkin, “as histórias que compõem o livro são inteligentes e divertidas, a escrita é clara e interessante e o autor (Nuno Crato) é singularmente criativo. São histórias como estas as que levam as pessoas a interessar-se pela matemática e ajudam aqueles que não são especialistas em matemática a antever o mistério, poder e beleza da matemática”.

Esta não só é uma boa notícia para a divulgação de ciência feita em Portugal, em particular da divulgação da matemática, assim como um convite à (re)leitura da edição portuguesa.

António Piedade

Uma nova História da Matemática em Portugal?

Recensão do Ensaio "Matemática em Portugal – Uma Questão de Educação" de Jorge Buescu, publicada primeiramente na imprensa regional.

Jorge Buescu, um dos principais divulgadores de ciência da actualidade, principalmente na área da matemática, acaba de publicar o seu último livro: Matemática em Portugal, uma questão de Educação. O título, publicado em Maio, é o n.º 27 da colecção “ensaios” da Fundação Francisco Manuel dos Santos.

Neste ensaio, Jorge Buescu, Professor Associado do Departamento de Matemática da FCUL, apresenta-nos um contributo muito interessante, eventualmente polémico, segura e doravante incontornável sobre a história da matemática em Portugal. 

Contrapondo-se às teses convencionais e seculares com questões pertinentes e factos repetidamente ignorados, Buescu realumia “as trevas”, os períodos inflorescentes, os intervalos de mediocridade, da história das ciências portuguesas e do seu ensino. Desfaz algumas ideias estabelecidas, alguns mitos, algumas incongruências da narrativa histórica convencional que se depositaram no nosso saber colectivo durante séculos, sem serem questionadas. São agora revisitadas arguta e analiticamente por Jorge Buescu que apresenta uma visão alternativa sustentada em velhas e novas fontes históricas.

Ao estar “ainda por escrever uma História da Matemática em Portugal para o século XXI”, como escreve Buescu, este ensaio, que explica o porquê da ausência de portugueses na galeria dos “gigantes” da História da Matemática Mundial, constitui um contributo para essa nova história em falta, para além de nos oferecer uma visão estimulante, e bem escrita, da própria história das ciências e da sua educação em Portugal.

O ensaio com 98 páginas, estrutura-se em 7 capítulos a saber: 1 - Matemática em Portugal: a narrativa convencional e o verdadeiro drama; 2 - o que é e para que serve a Matemática?; 3 - Os Descobrimentos: matemática em Portugal?; 4 – A imaginária “decadência” do século XVII; 5 – Catástrofe pombalina na Edudação; 6 – A aventura e o drama da Geração de 40; 7 – Portugal e o futuro.

O ensaio acaba com uma oportuna bibliografia “para saber mais”.

António Piedade

Seja Bendita a Matemática! Veja um exemplo.

O LIVRO DA MATEMÁTICA

Apresentação de Carlos Fiolhais ao "Livro da Matemática" de Clifford Pickover (Librero) filmada recentemente no Centro Ciência Viva Rómulo de Carvalho: aqui.

DIA DO PI

Há o dia do pai e o dia do pi. Hoje, 14/3, é o dia do pi. Já se conhecem, graças a métodos de supercomputação, mais de 10 000 000 000 000 de dígitos. Aqui ficam os primeiros:

3.

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Os raios X há 95 anos

Crónica a propósito do 95º aniversário do jornal "O Despertar":

Nesta edição, de 2 de Março, que celebra 95 anos de existência de “O Despertar” quero deixar, para além dos votos de que conte muitos mais, o meu agradecimento pelo papel que, nos últimos anos, este jornal tem tido na divulgação de ciência.

De facto, este periódico tem vindo a dedicar espaço regular à ciência e, entre crónicas e notícias, tem contribuído para uma maior proximidade entre a cultura científica e os seus leitores.

Há 95 anos, ou seja em 1917, quando foi lançada a primeira edição desse jornal, a radiação electromagnética genericamente designada por raios X foi notícia.

Os raios X, assim baptizados em 1895 por Wilhelm Röntgen (1845-1923) por desconhecer a sua natureza, compreendem, em rigor, a radiação electromagnética de comprimentos de onda entre 0,005 e 1 nm (1 nm é igual à milionésima parte do milímetro). Desde a sua descoberta acidental que as suas aplicações nunca mais pararam de ser úteis, quer seja para compreender a íntima natureza da matéria (como é que os átomos que formam os cristais, as proteínas, o ADN, etc., estão dispostos no espaço a três dimensões) quer seja no dia-a-dia da medicina, primeiro através das radiografias, depois através das tomografias axiais computadorizadas (TAC), entre outras aplicações no estudo do Universo.

Dizia eu que, em 1917, os raios X foram notícia pelo facto de ter sido atribuído o Prémio Nobel da Física ao inglês Charles Barkla (1877-1944) pelo seu trabalho sobre a difração dos raios X por diversos elementos. Talvez o “O Despertar” tenha publicado essa notícia.

Curiosamente, um outro assunto relacionado com os raios X, nesse ano de 1917, não foi notícia nem nesse, nem em qualquer outro jornal generalista. Se tivesse sido noticiado, o conhecimento que ficou desconhecido teria poupado muito trabalho aos físicos que desenvolveram, no início dos anos 60 do século XX, os princípios do que viria mais tarde a ser designado por TAC. Estes cientistas desconheciam, aparentemente, que um matemático nascido em Děčín (hoje cidade checa), de seu nome Johann Radon (1887-1956), tinha criado, já em 1917, toda a matemática necessária para derivar dados tridimensionais a partir da combinação de um determinado número de feixes de raios X. Ou seja, Radon tinha mostrado como obter uma função a partir de uma série infinita de projecções, o que ficou conhecido por transformada de Randon na área da geometria integral.

Hoje, 95 anos depois e em relação com uma não notícia, endosso os meus parabéns a este jornal conimbricense.

António Piedade

MATEMÁTICA NA RUA

Interessante projecto de mostrar matemática na Rua, no qual participa a portuguesa Sara Santos, divulgadora de ciência na Royal Institution de Londres.

O HOTEL DO INFINITO

A New Scientist TV está a publicar uma série de animações "O Minuto Matemático". Eis o episódio sobre o Hotel Infinito de David Hilbert:

“CASAMENTOS E OUTROS DESENCONTROS”

Recensão publicada no Diário de Coimbra:

O divulgador de ciência deve restringir-se à sua área de especialidade, para que a sua comunicação seja eficaz com o grande público. Foi mais ou menos por esta palavras que Jorge Buescu, Professor Associado de Matemática na Faculdade de Ciência da Universidade de Lisboa, abordou o assunto sobre quem e como deve ser efectuada a comunicação de ciência, numa palestra dirigida a jovens muito interessados pela ciência, no último (29.º) Encontro Juvenil da Ciência, no dia 3 de Setembro de 2011, em Castelo Branco.

Jorge Buescu sabe muito bem do que fala e ainda mais sobre o que escreve. Não me refiro só à eloquência com que cativa os seus ouvintes, mas também ao magnetismo com que prende os seus leitores ao caminho feito pela sua escrita enxuta de acessórios, movida pelo passeio seguro por trilhos que conhece como as mãos com que os delineia. Escrita rigorosa na informação que flui sem esforço, talhada pelo trabalho com que semeia o seu talento de cientista, matemático genuíno que, paciente, aguarda a estação da frutificação para oferecer ao leitor o fruto da sua sementeira, descontaminada de enganos.

Jorge Buescu permite-nos compreender, sem abismos, o quanto a matemática está presente nas coisas de que não prescindimos no nosso dia-a-dia.

Depois de prévias sementeiras (“O Mistério do Bilhete de Identidade e Outras Histórias”, 2001; “Da Falsificação dos Euros aos Pequenos Mundos”, 2003; “O Fim do Mundo Está Próximo?”, 2007) que alicerçaram a crescente qualidade da divulgação de ciência em Portugal e em português, Jorge Buescu apresenta-nos neste seu novo livro intitulado “Casamentos e Outros Desencontros”, o melhor da sua lavra. De realçar um denominador comum: a editora Gradiva, que aprendemos a conhecer como sinónimo de qualidade e de excelência na divulgação de conhecimento científico.

De capítulo em capítulo (que se podem ler pela ordem indicada no índice, ou por qualquer uma outra escolhida pela curiosidade ou interesse momentâneo do leitor, sem que este corra o risco de se sentir impreparado), é-nos desvendada a matemática presente em casos, histórias e problemas de sempre e de agora que nos preocupam sem que eventualmente desconfiemos que esteja na matemática a sua possível solução.

Como o Professor Carlos Fiolhais escreve no seu prefácio ao livro, a matemática “tem fama de mulher difícil”, mas “não tem maneira de resistir ao Jorge Buescu”. E é com essa mesma capacidade de sedução que Buescu no-la apresenta de vários ângulos, sem qualquer pudor, e sem recear afastar leitores ao incluir números, matrizes, expressões, equações, figuras geométricas.

Jorge Buescu demonstra, com este seu novo livro, que respeita quem o lê ao apresentar a ciência matemática tal qual ela é. Sem rodeios, escreve logo no início da sua introdução a "Casamentos e Outros Desencontros", que aquilo que mais atormenta e causa frustração a um matemático é o de não lhe fazerem perguntas depois de apresentar os seus resultados, por exemplo, numa reunião científica ou numa aula. Isto porque é até através da acção espoletada pela pergunta que pode surgir, inclusive, a resposta que o matemático não possuía, ou se abrirem outros e novos horizontes de descoberta.

É assim que a ciência avança.

Por fim, e se chegou até aqui, pergunto-lhe: que perguntas fará ao ler “Casamentos e Outros Desencontros”?

António Piedade
Ciência na Imprensa Regional – Ciência Viva

Prefácio a "Casamentos e outros desencontros" de Jorge Buescu

Em primeiríssima mão, o meu prefácio a "Casamentos e outros Desencontros", de Jorge Buescu, que acaba de ser publicado:

Em 5 de Setembro de 1984 fui orador convidado no 2.º Encontro Juvenil de Ciência, organizado pela Associação Juvenil de Ciência na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Tinha, nas vésperas do Natal de 1982, regressado da Alemanha, com um doutoramento na bagagem e foi uma das minhas primeiras palestras de divulgação científica. O 1.º Encontro tinha sido em 1983 em Lisboa e a série haveria de continuar com grande sucesso até hoje, sob a égide da Associação Juvenil de Ciência, constituída quatro anos depois do primeiro encontro.

Quem me tinha convidado? Quem me apresentou ao jovem público, julgo que na altura sem me conhecer de lado nenhum, no Encontro do Porto? Foi um rapazinho que na altura prometia. Ele tinha, então, vinte anos, frequentava o Curso de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa e dedicava-se com visível entusiasmo a várias actividades de divulgação científica, incluindo, além do associativismo juvenil, a redacção de um jornal de estudantes de Física (deu-me um exemplar que ainda guardo).

Chamava-se Jorge Buescu. Em 2003, quando os papéis se inverteram e eu tive de o apresentar numa palestra para jovens na Universidade de Coimbra, no quadro do programa Despertar para a Ciência (a ideia tinha sido do Prof. Ramôa Ribeiro, que partiu há pouco da nossa companhia e de quem temos imensas saudades), contei em público a história do nosso primeiro encontro e disse que era para mim um privilégio ser eu agora a convidá-lo e a apresentá-lo, saldando, portanto, as nossas contas. Quando ele pegou no microfone e ligou o projector, fiquei na primeira fila da plateia, a desfrutar da maneira bem-humorada, mas, apesar disso, lógica, sistemática e exigente, com que ele prendia a atenção das mentes juvenis em problemas matemáticos que seriam intrincados se não fosse ele o orador. Ainda me lembro do tema – a frequência dos algarismos numa lista telefónica e a sua aplicação às declarações do IRS – embora já tenha esquecido todas as outras palestras a que assisti nesse ano.

O Professor Jorge Buescu é o autor deste livro. O jovem estudante era uma promessa que se tem cumprido ao longo dos anos e que se agora se cumpre de novo. Ele não é apenas muito bom a contar histórias de matemática para uma audiência escolar, também consegue pô-las escorreitas por escrito de modo a alargar o número dos seus alunos. Na comunicação oral e na comunicação escrita ele sabe, como poucos, combinar a informalidade e a formalidade. Parece, por vezes, que está em roda livre, mas a roda está bem presa: ele é um matemático que nunca se esquece do rigor que caracteriza a sua disciplina (na busca da perfeição, o Jorge derivou, na sua carreira, da Física para a Matemática...). Quem se encantou a ler O Mistério do Bilhete de Identidade e outras Histórias (2001), que conheceu várias edições, Da Falsificação dos Euros aos Pequenos Mundos (2003) e O Fim do Mundo Está Próximo? (2007), todos eles títulos da rica colecção Ciência Aberta da Gradiva, tem agora nas suas mãos Casamentos e outros Desencontros. Adivinho que as leitoras e os leitores se interessaram por este título não apenas pela sua originalidade (é o melhor, até agora, dos títulos do Jorge!), mas também pelo facto de conhecerem o peculiar estilo do autor e estarem ansiosos por o reencontrarem a vestir novos conteúdos matemáticos. Pois fiquem a saber desde já que as vossas expectativas não vão ser defraudadas. O Jorge continua o mesmo: sempre ávido de absorver a melhor matemática que se fez ou se faz pelo mundo fora, sempre eficaz a comunicá-la a toda a gente de uma maneira inimitável.

Este livro é do melhor Buescu, até porque a sua pena se foi apurando com o exercício mensal nas colunas da revista Ingenium da Ordem dos Engenheiros. Está amplamente demonstrado que foi uma grande ideia a do bastonário que o convidou. Dá até vontade de ser engenheiro só para poder receber, pontualmente, a revista e, com ela, as aguardadas “crónicas das fronteiras da Matemática”. Quem não for engenheiro terá de se contentar com as prosas matemáticas em formato de livro com o inconveniente do atraso, embora com a vantagem da sua reunião num só volume.

A Matemática tem fama de mulher difícil. Mas ela não tem maneira de resistir ao Jorge Buescu, que no-la apresenta tal como ela verdadeiramente é e não como muitos supõem que ela seja. Ficamos todos a achá-la irresistível. A leitora ou leitor poderá seguir a ordem que quiser, que encontrará sempre, nos vários capítulos, a Matemática sob um ângulo provocante e atraente. Se seguir a ordem proposta pelo autor, ficará, antes de chegar ao texto que dá o título ao livro, a saber que matemática avançadíssima se faz hoje num blogue com participação livre à escala planetária, que um ramo inusitado da geometria pode ser usado para construir uma teoria da unificação das forças nos intervalos da prática do surf, que as geometrias não-euclidianas têm insuspeitas relações com o crochet, que as figuras fractais que pareciam uma brincadeira informática se tornaram úteis em matemática pura, que os fundadores do Google enriqueceram só porque inventaram um “truque” matemático para ordenar páginas da Web, que se pode esculpir um conjunto de Mandelbrot no espaço tridimensional, e que é conhecido com precisão matemática o ponto, numa sucessão de encontros românticos, onde se deve parar para casar. Só por esta preciosa informação a leitora ou leitor pode dar por bem empregue o dinheiro do livro, dada a avultada verba que poderá economizar. Chega então ao texto que dá o título do livro, onde o autor ensina o modo de organizar casamentos estáveis, uma outra informação preciosa, que é um verdadeiro bónus para quem está a ler pois o livro já estava pago com o capítulo anterior. Mas há mais. A obra continua com a exposição de um problema do século XIX que tem resistido às investidas dos maiores matemáticos (há uma margem para anotações...), com a indicação do sítio onde se deve localizar um armazém de modo a assegurar uma distribuição óptima a toda uma rede, com a revelação de que há semelhanças entre eleições e montanhas, com a fantástica notícia de que é possível chegar de derrota em derrota até à vitória final, com a descrição do que aconteceu à matemática do Japão após a expulsão dos Portugueses, com a comunicação de que as cidades têm inesperadas parecenças com os seres vivos, com a lição a um grupo de meninas tagarelas que pretendem optimizar a conversa entre si, e com a divulgação do modo como dois alunos de Matemática norte-americanos ganharam uma fortuna na lotaria. Esta seria uma novidade completa que valeria não apenas o preço deste livro, mas o preço de toda colecção Ciência Aberta ou quiçá da editora, não fora o caso de só ser possível em circunstâncias muito especiais, difíceis de encontrar na prática. Por último, o autor faz os leitores penetrarem num dos mais impenetráveis mistérios da economia moderna, que envolve muito mais dinheiro do que a lotaria: a origem da crise financeira internacional.

É muito graças a Jorge Buescu que a divulgação científica em Portugal não está em crise. Continua a dar extraordinários dividendos a quem a ouve ou lê. Em Setembro deste ano fui convidado a participar na 29.ª edição do Encontro Juvenil de Ciência, realizado em Castelo Branco, e pude verificar mais uma vez o interesse que os jovens nutrem pela ciência. O Jorge, que também tinha sido convidado, consegue redobrar esse interesse. Um jornal local titulou ao noticiar o Encontro: “Não é possível desligar os cérebros”. Atenção, cara leitora ou leitor que está a começar a ler o livro: não vai ser possível, nas próximas páginas, desligar o seu cérebro.

CASAMENTOS E OUTROS DESENCONTROS

Convite recebida da Gradiva relativo ao novo livro do Jorge Buescu (clkicar para ver melhor).

Memorizar a tabuada: sim, não, talvez...

Recente investigação de mestrado sobre o papel da memória na aprendizagem das tabuadas confirmou o que à partida se supunha: que os professores do primeiro ciclo se dividem quanto à importância dessa capacidade nessa aprendizagem.

Respondem uns que a “memorização é essencial no cálculo mental”, que “os alunos necessitam de memorizar as tabuadas para poderem efectuar as operações numéricas”, que “sem a memorização da tabuada os alunos perdem-se nos cálculos”, que "a memorização das tabuadas permite a resolver problemas com mais rapidez e eficácia”, que, afinal, “todo o ensino tem de ter por base a memorização”.

Outros, ao contrário, respondem que “a criança pode apresentar resultados correctos e até resolver multiplicações sem ter a tabuada memorizada”, ou que “alguém que nunca decorou tabuadas pode facilmente resolver os problemas que a implicam”. Que “a memorização está ultrapassada”, que “já não é importante”, que “ficou há muito tempo de lado” pois “não motiva os alunos” e “o que é importante é compreender”.

Outros, ainda, consideram a memorização relevante “mas não imprescindível ou obrigatória”. E, à semelhança das orientações curriculares, consideram “que “devem ser os alunos a construir as tabuadas”, que “os alunos têm que compreender a tabuada”, pois não é possível “conceber a memorização sem compreensão”. Assim, “só depois de o aluno compreender a tabuada é que a pode memorizar” e que "a memorização é a última etapa da aprendizagem da tabuada”.

Como um trabalho de investigação levanta mais perguntas do que aquela ou aquelas que o desencadearam, este, com carácter exploratório, deixa no ar curiosidade bastante para a realização de outros mais aprofundados.Tão distintas opiniões devem-se a formações diferentes? A leituras diferentes dos documentos da tutela? A reflexões diferentes sobre as práticas? A ethos escolares diferentes?

Referência do trabalho:
Oliveira. A. M. (2011). O lugar da memória na aprendizagem da tabuada: Orientações curriculares e concepções de ensino. Universidade de Coimbra: Faculdade de Psicologia e de Ciências da Educação. Dissertação de Mestrado.

Evoluções numéricas a perder de vista

Novo post de Guilherme de Almeida, correspondendo a um artigo que publicou:

Estamos habituados, desde muito novos, a fazer previsões ou estimativas baseadas em progressões aritméticas, nas quais cada novo termo se obtém somando uma quantidade fixa, positiva ou negativa, ao termo anterior. Por exemplo 1, 3, 5, 7, … No nosso dia-a-dia quase nunca pensamos nas progressões geométricas, nas quais cada novo termo se obtém multiplicando o termo anterior por uma quantidade fixa, maior ou menor do que a unidade. Por exemplo 1, 2, 4, 8, … Quando somos confrontados com factos ligados a progressões geométricas, ou desafiados a fazer estimativas nesse contexto, as nossas previsões, em geral obtidas com base no senso comum e no hábito enraizado, falham estrondosamente. Também falhamos redondamente na comparação de outras situações para as quais também não estamos treinados. Este artigo destina-se a mostrar alguns desses casos limite.

Crescimento inesperado da espessura de uma folha de papel

Admita-se que tínhamos uma fita de papel muito comprida, com a espessura e=0,1 mm Dobrando a fita ao meio, pela primeira vez, teremos o dobro da espessura (0,2 mm), ou seja e x 2^1; dobrando outra vez a fita, após a segunda dobragem a espessura do papel atingirá 4 vezes a espessura inicial, ou seja, e x 2^2 ; à terceira dobragem chegaremos à espessura e x 2^3. É fácil concluir que ao fim de n dobragens, a espessura atingida será e x 2^n. Parece que estamos sempre nas pequenas espessuras. Por mais vezes que se dobre o papel, a espessura será sempre insignificante, pensamos nós.

É claro que todos sabemos que ao fim de algumas dobragens será preciso uma força enorme para dobrar o papel, e seria necessário ter à partida uma tira de papel enorme para o poder dobrar sucessivamente. Vamos desprezar esses factos e pensar apenas no modo como a espessura de papel cresce, à medida que este vai sendo sucessivamente dobrado, pois o nosso interesse fundamental é ver como é que a espessura vai aumentando.

Podemos colocar uma primeira pergunta: quantas vezes seria preciso dobrar o papel para obter uma espessura igual à distância média da Terra à Lua (384 400 km)? Parece que teríamos de o fazer milhares de vezes, ou provavelmente milhões de vezes (o senso comum diz-nos isso), mas... ao fim de 42 dobragens a espessura do papel dobrado já excedeu essa distância. Vejamos como:

A distância da Terra à Lua, em média, é d_Lua=384 400 km=3,844x10^8 m. A espessura da folha de papel (uma só camada) mede 0,1 mm = 0,1 x 10^-3 m.

Ao fim de n dobragens a espessura global de papel atingirá finalmente 3,844x10^8 m. Mas, afinal quantas vezes teremos de dobrar? Teremos de o dobrar n vezes, de tal modo que e x 2^n = d_Lua, ou seja, 0,1 x 10^-3 x 2^n = 3,844 x 10^8 m, o que significa que 2^n = 3,844 x 10^8/ 0,1 x 10^-3

Resta saber qual é o número n que torna possível a anterior condição. Aplicando logaritmos de base 10 (que se aprendem actualmente no 12.º ano) a esta última expressão, teremos:

2^n = 3,844x10^8/0,1 x 10^-33 ou n log 2= log (3,844 x 10-12) ou n=41,806.

Mas como n tem de ser um número inteiro (não há meias dobragens), a espessura de papel ultrapassa a distância da Terra à Lua à 42.ª dobragem. Este resultado é uma surpresa enorme. Qualquer jovem, ou menos jovem, pode verificar facilmente este resultado utilizando uma vulgar máquina de calcular com funções científicas básicas, usando a tecla x^y. Comprovaremos facilmente que 2^42 ultrapassa 3,844x10^12. É claro que a solução (valor de n) pode variar ligeiramente consoante a espessura do papel considerado no cálculo.

Ainda mais longe

À 51.ª dobragem (contada desde o início), já a espessura de papel excede uma unidade astronómica (distância média da Terra ao Sol), que vale aproximadamente 150 milhões de km (1,5 x 10^11 m). O cálculo a fazer é semelhante ao que fizemos anteriormente para a distância da Terra à Lua, utilizando agora a distância da Terra ao Sol (d_Sol).

À 67.ª dobragem (contada desde o início), a espessura do papel excede um ano-luz (1 ano luz = 9,461 x 10^15 m).

À 83.ª dobragem (contada desde o início), a espessura do papel excede o diâmetro tradicionalmente considerado da nossa galáxia! (100 000 anos-luz). Quem diria?

Caminhando para o infinitamente pequeno

Também podemos andar no sentido inverso, em busca de dimensões sucessivamente menores. Conta-se que Demócrito, filósofo grego que viveu em Abdera entre 460 a.C. e 370 a.C., foi uma das primeiras pessoas a pensar que a matéria não podia ser infinitamente dividida. Teve uma primeira ideia de átomo, considerando-o como a mais pequena porção de matéria que ainda mantinha as propriedades da substância original, se esta fosse uma substância simples (diríamos agora). Considerou o átomo indivisível (do grego “a ”=negação e “tomo” = divisível, ou seja, átomo = indivisível). Dizia Demócrito que se alguém cortasse uma maçã ao meio, com uma faca afiada, dividindo depois uma das metades ao meio, depois dividindo um dos quartos ao meio, e assim sucessivamente, teríamos de parar a certa altura, pois só restaria um átomo, já não divisível (para Demócrito). Não colocaremos a questão de saber da dificuldade técnica de cortar fragmentos minúsculos (ou até da real possibilidade de o fazer com uma faca, por mais afiada que esta seja), pois não é esse o nosso objectivo. Quantas vezes poderemos cortar a maçã até se chegar a um só átomo? Também parece que precisaremos de a cortar milhares de vezes, ou mesmo milhões de vezes, para o conseguir. Será assim?

Para simplificar, admita-se que a nossa maçã tem a forma de um cubo com 8 cm de aresta (Figura de cima), tendo por isso um volume de (8^3) cm^3= 512 cm^3. Um átomo, que suporemos de hidrogénio, por ser o menor de todos tem um diâmetro de cerca de 100 picómetros (100 pm), ou seja 100 x 10^-12 m= 1 x 10^-10 m = 1 x 10^-8 cm. Supondo esse átomo também cúbico, para simplificar, o seu volume seria (1 x 10^8)^3 cm^3 = 1 x 10^-24 cm^3.

Após o primeiro corte, o volume será 512/2^1 cm^3. Ao segundo corte termos 512/2^2 cm^3. E ao fim de m cortes o volume residual ficará em 1 x 10^-24 cm^3, que é o volume de um só átomo.

Portanto, (1x10-8)^3 =512/2^m ⇔ 2^m =512/10^-24, ou ainda 2^m =5,12 x 10^26. Recorrendo ao método já citado (logaritmos de base 10), obteremos:

m log 2= log (5,12x10^26), ou seja, m=88,73.

Isto significa que ao fim de 89 cortes teremos chegado ao átomo (mais uma vez, m tem de ser um número inteiro). Parece inacreditável que tenhamos de cortar tão poucas vezes.

Uma outra surpresa

Vamos ver agora um outro facto surpreendente e inesperado. Admita-se que alguém conseguia enrolar um arame em volta da Terra, passando, por exemplo, pelo equador. O diâmetro médio da Terra é aproximadamente 12756 km. Para simplificar os cálculos, consideremos a Terra perfeitamente esférica, sem montanhas. O arame estará, por isso sempre encostado à Terra em todo o seu perímetro. Aumentemos um metro ao comprimento do arame. Voltando a dar-lhe forma circular, e mantendo-o igualmente afastado do chão em todo o seu comprimento (suportando-o por estacas, por exemplo), o arame passará a uma altura de quanto relativamente ao chão? Esse não é o problema em si, pois essa altura vale 0,15915… m, como mostraremos mais adiante. Podemos repetir a experiência, agora mais fácil de realizar, circundando uma laranja esférica de (por exemplo) 8 cm de diâmetro, com um arame fino, de modo a ficar justo. Aumentando depois um metro ao comprimento desse arame, e dando-lhe a forma circular (e concêntrica com a laranja) a que altura passa o arame acima da superfície da laranja? Será muito mais do que no caso da Terra? Na realidade obteremos os mesmos 0,15915… m.

Na verdade, veja-se que a medida do raio do arame, dando a volta ao equador de uma esfera qualquer de raio r, vale 2 pi r / 2 pi = r quando encostado à esfera. E valerá (2 pi r + 1 )/ 2 pi = r quando o arame for alongado 1 m (considerando r expresso em metros). O que procuramos saber é diferença entre o segundo e o primeiro valor. Feitas as contas, essa diferença vale 1 / (2 pi) = 0,15915… m. E, para nossa surpresa, é independente de r. Terra ou laranja, tanto faz!

Guilherme de Almeida

Matemática: arma de construção maciça

Do novo livro de Jorge Buescu, a sair em breve na Gradiva, tenho o gosto de pre-publicar aqui um dos capítulos, que conta como se pode fazer matemática avançada usando o formato de um blogue:

"Todos temos a ideia da Matemática como uma actividade essencialmente solitária. Com meios técnicos bastante mais avançados do que Arquimedes, é certo, o processo de descoberta matemática não parece ter mudado ele por vezes durante meses ou anos, por vezes em colaboração com outras mentes igualmente interessadas no tema e, se tudo correr bem (o que acontece, diga-se, muito raramente) demonstra um resultado matematicamente relevante.

Quando isso sucede o ou os matemáticos envolvidos, raramente mais do que três ou, no máximo, quatro, escrevem um artigo científico de acordo com as normas de comunicação em Ciência: todo o raciocínio é depurado, os becos infrutíferos são expurgados, e apresentam-se de forma objectiva e seca os resultados. O artigo é submetido para publicação numa revista da especialidade e seguirá o seu processo normal. E aí começa a saga do refereeing, mas isso é outra história. O processo de descoberta matemática já terminou. Fim da história.

Fim da história? Não! Como pode a história ter um fim a meio de uma revolução?

Porque é de uma revolução que se trata. Esta teve início em 2009, na pessoa do excepcional matemático inglês da Universidade de Cambridge Timothy Gowers (fig. 1), medalha Fields em 2008 e autor de vários obras científicas e de divulgação, entre as quais o brilhante livro Matemática: uma breve introdução, publicado entre pela Gradiva.

Em 2009 Gowers utilizou o seu blog (http://gowers.wordpress.com/) para anunciar uma experiência única: o Projecto Polymath. Este projecto tinha o objectivo científico habitual: atacar um problema em aberto na Matemática. Mas tinha também o objectivo mais ambicioso de conceber uma forma inovadora de realizar investigação em Matemática. Inspirado nas ideias de iniciativas open-source como o Linux ou a Wikipedia, e tendo em conta a natureza aberta das ideias matemáticas, Gowers construiu dois blogs e uma wiki para encorajar a colaboração sem fronteiras físicas nem mentais num problema de Matemática.

O problema proposto inicialmente por Gowers é conhecido na literatura como o teorema da Densidade de Hales-Jewitt (daqui em diante designado por DHJ). Embora já demonstrado, e sendo por isso um teorema, este resultado é relativamente simples de enunciar mas tem uma demonstração estratosfericamente complexa. E é um dos poucos resultados de combinatórica com grande impacto noutros ramos da Matemática que não tem uma demonstração “elementar”, isto é, que não saia da combinatória. Gowers, tal como outros matemáticos, estava verdadeiramente incomodado com esta questão.

Pode mostrar-se que o teorema DHJ é equivalente à seguinte pergunta, fácil de entender: quantos quadrados de um tabuleiro de Jogo do Galo de ordem n×n mergulhado numa dimensão espacial arbitrária m têm de ser removidos de forma a assegurar que nenhum dos jogadores possa ganhar, qualquer que seja a estratégia seguida? No Jogo do Galo usual (em duas dimensões, com um tabuleiro 3×3, a resposta é 3: basta remover uma diagonal para tornar impossível a vitória de qualquer dos adversários, como o leitor não terá dificuldade em verificar (nunca há 3 casas na horizontal ou vertical). Mas qual será a resposta no caso geral, em que tanto a dimensão do tabuleiro como a dimensão do “espaço” são arbitrárias? Veja-se a Fig. 2, com um tabuleiro 4×4 em dimensão 3.

O leitor é cordialmente convidado a tentar resolver “à mão” o problema da figura, ou seja o caso n=4, m=3. Um aviso: não é simples.

O problema proposto por Gowers tem potencialmente grande impacto, quer em Matemática quer em Ciências da Computação. Quem souber um pouco de Combinatória reconhece imediatamente que este problema tem de estar relacionado com a chamada Teoria de Ramsey, o ramo mais difícil mas com maiores consequências da Combinatória actual, e da chamada “teoria combinatórica aditiva”. O teorema DHJ tem também grande impacto nas Ciências da Computação, pois é equivalente ao chamado “problema da repetição paralela”. E, como em tudo na Matemátca, se o resultado é importante, a demonstração não o é menos: possuir duas demonstrações com técnicas diferentes pode levar ao desenvolvimento de ferramentas novas nas áreas emvolvidas.

Gowers tinha algumas ideias embrionárias sobre como se poderia construir uma demonstração puramente combinatórica de DHJ. Foi assim que, a 27 de Janeiro de 2009, decidiu partilhá-las com os matemáticos espalhados pelo mundo, publicando-as no seu blog e desafiando a comunidade matemática a contribuir com novas ideias, iniciando uma experiência que designou de “colaboração matemática maciça”.

Todos os matemáticos, mediante o cumprimento de regras mínimas de comportamento, eram convidados a participar activamente. “Os comentários”, dizia Gowers, “devem ser curtos, exprimindo uma única ideia ou apenas o germe de uma ideia; na verdade, essas ideias incompletas são particularmente bem-vindas. Os comentários devem ser o mais claros possível. O trabalho técnico deve ser atrasado o mais possível. Como regra prática, recomendo que seja evitado o tipo de comentário que exija pensar com um papel ao lado”.

Assim, Gowers inaugurava uma forma radicalmente nova de fazer Matemática: em vez de estudar artigos já depurados das ideias parciais e becos sem saída encontrados ao longo da sua construção, ele encorajou a publicação e partilha de ideias preliminares e contribuições individuais simples. Em vez de ser ver no seu blog um edifício construído, vê-se uma fiada de tijolos e o convite para irem sendo colocados mais tijolos, cimento e vigas.

Assim nasceu o Projecto Polymath. A discusssão começou devagar: passaram mais de sete horas até à primeira contribuição, de Jozsef Solymosi, um matemático da Universidade da Columbia Britânia em Vancouver. Um quarto de hora depois veio o segundo comentário, da autoria de Jason Dyer, um professor do Ensino Secundário no Arizona. Três minutos depois foi a vez de Terence Tao (medalha Fields em 2006 e um dos maiores matemáticos da actualidade; veja-se O fim do Mundo está próximo?, do autor destas linhas, cap. 14).

A partir daí o crescimento foi explosivo: em pouco mais de um mês, pessoas de todo o mundo contribuíram com mais de 800 comentários. O Projecto Polymath tinha ganho asas. Nas palavras de Gowers, “era extremamente agradável, mas também viciante. Tinha a sensação de ser um espectador de bancada. Mesmo antes de ir para a cama, podia ter algumas ideias e colocava-as no blog com algumas perguntas, e quando me levantava via que alguém nos EUA lhes tinha respondido”.

O progresso no problema foi muito mais rápido do que alguém poderia ter imaginado. A 10 de Março, em seis semanas apenas!, Gowers anuncou estar confiante de que o Projecto Polymath tinha construído uma demonstração elementar de um caso particular do teorema DHJ. Mais do que isso: a demonstração construída continha as sementes que permitiriam possivelmente demonstrar o teorema em toda a sua generalidade.

Esta ideia veio a tornar-se uma realidade, e deu origem a um arttgo científico já aceite para publicação, Density Hales-Jewett and Moser numbers. Colocando-se a delicada questão da autoria, o artigo é assinado sob o pseudónimo colectivo “DHJ Polymath” – que é exactamente a sua origem. E o Projecto Polymath já tem novos problemas na calha.

A forma de fazer Matemática no Projecto Polymath é profundamente revolucionária. Pela primeira vez estão públicos todos os registos de avanços e recuos, becos sem saída e ideias inovadoras presentes no processo de investigação científica. Eles mostram de forma viva como é que as ideias crescem, se alteram, são melhoradas ou abandonadas, e como os avanços no conhecimento não se dão num grande salto em frente, ao contrário da convicção geral dos não-cientistas, mas sim por agregação e refinamento de muitas pequenas contribuições em direcções diferentes. Todo este material está aberto para consulta. Como dizem Gowers e Michael Nielsen, seu colaborador, “quem poderia imaginar que o registo de trabalho de um projecto matemático fosse tão interessante de ler como um thriller?”

Qual o futuro desta revolução? Como o de qualquer outra, ninguém pode saber. O Projecto Polymath já está a atacar novos problemas, e Gowers e Nielsen sugerem mesmo a possibilidade de atacarem os Problemas do Milénio, propostos pelo Clay Mathematics Institute, e cuja solução é premiada com um milhão de dólares (não é claro como esse dinheiro poderia ser repartido pelos participantes no Projecto Polymath, o que poderia ser um quebra-cabeças maior do que o Jogo do Galo em dimensões n × m). Fora da Matemática, Gowers e Nielsen sugerem a possibilidade de aplicações em biologia sintética, Física Teórica e Ciências da Computação.

Eis aqui um novo e improvável papel para a Matemática: a de arma de construção maciça."

Jorge Buescu

Terrorismo matemático

É a nova anedota que percorre as redes sociais, desta vez tendo a matemática e o seu "natural terrorismo" como pano de fundo...

Breaking news: A public school teacher was arrested today at John F Kennedy International Airport as he attempted to board a flight while in possession of a ruler, a protractor, a compass, a slide-rule and a calculator. At a morning press conference, Attorney General Eric Holder said, "Undercover sources have identified the man as a member of the notorious Al-Gebra movement." While the man was not identified, he has been charged by the FBI with carrying weapons of math instruction.

Ensino da Matemática: Questões e Soluções

Chegou-me hoje a casa o livro com o título de cima, que contém as intervenções na Conferência Internacional que decorreu na Fundação Gulbenkian em Novembro de 2008. É uma valiosa edição do Serviço de Educação e Bolsas, de um conjunto de especialistas de não-especialistas em Matemática. Foi coordenador Nuno Crato, que na altura dirigia a Sociedade Portuguesa de Matemática. A minha contribuição está aqui. Mas há também contribuições de outros autores deste blogue como Filipe Oliveira ("A intuição tem sempre de ser verificada pelo rigor") e de Maria Helena Damião ("Orientações curriculares para a matemática no ensino básico: fundamentação pedagógica cognitista ou construtivista?"). A abrir vem um texto de Manuel Sobrinho Simões: "Genómica, Pós-Genómica e Educação". Destaco dele uma frase sobre a nossa relação genética com os finlandeses:

"É interessante analisar as nossas características genética em relação a outros países. Foi estudada, sobretudo pelo grupo de António Amorim e de Luísa Pereira, a evolução da população depois do último glaciar na Europa, há 15 mil ou 17 mil anos, em que foram destruídas as populações da Dinamarca, Suécia, Noruega e Finlândia. A sua repopulação foi feita a partir dos povos da Península Ibérica. É curioso verificar que, por exemplo, os Finlandeses vêm de nós, e, portanto somos mais parecidos com os Finlandeses do que com os Brasileiros. Assustadoramente, somos praticamente iguais, embora haja diferenças geográficas, e isso aconteceu há 17 mil anos."

12 ANOS

Mais um outro conto da dúzia que está pendurada no “Cordel de Ciência”, ilustrados por Diana Marques, iniciativa promovida e inaugurada no Pavilhão do Conhecimento aquando da comemoração do seu 12º Aniversário, no passado dia 25 de Julho de 2011. Passe por lá e leve-os consigo pela mão!
Entretanto… E na continuação de renovados pedidos de alguns leitores de outras paragens... Aqui vai.

Ana olha para a sua mão debruada de espanto!

O olhar peregrino, maravilhado com o ímpeto da descoberta, percorre emocionado a organização anatómica dos seus dedos. Acabava de descobrir como contar até 12 só com quatro dedos de uma mão. Usando o polegar como “contador”, enumerou sucessivamente as três falanges de cada um dos quatro dedos restantes. “3 x 4 = 12, calculou num raciocino rápido que a “falangeta calculadora” confirmou. Afinal, havia mais números residentes nos dedos de uma única mão. Podia contar uma dúzia de coisas com uma mão, ficando a outra livre para manusear objectos, escrever, pintar, acenar a quem passa.

Olhou para a mão “livre” e, bolinando pela intuição, deu imediata utilidade aos restantes cinco dedos. Se cada um representasse uma contagem das doze falanges, conseguiria contar até 60 com ajuda dos dedos das duas mãos.

Fantástico! Podia agora brincar com os seus amigos aquando do festejo do seu próximo 12º aniversário. Sempre que alguém lhe perguntar quantos anos vai fazer a 25 de Julho, erguerá uma só mão com o polegar oponente descansando matreiro sobre a palma. E, perante uma eventual reacção jocosa de “só quatro anos!?”, responderá divertida: “não, 12 anos”. E demonstrará de imediato com a ajuda do polegar contador: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 falanges! Uma para cada ano!

Pensa que também pode contar só com uma mão a sucessão dos doze ciclos lunares que ocorrem ao longo de uma translação da Terra ao redor do Sol, o mesmo é dizer, de um ano Solar.

Ana regozija-se a antecipar o dilúvio de espanto que inundará os olhares com a sua descoberta.

E poderá, com os dedos da outra mão, registar a multiplicação de amigos espantados. Quantos? Muitos! Se utilizar todas as falanges dos dedos de uma das mãos para contar grupos de 12 falanges da outra mão, consegue enumerar até 144 amigos a olhar estupefactos, a experimentar encontrar e contar dúzias de coisas à sua volta. Sim, é verdade, uma dúzia é igual a 12 objectos, ou coisas!

Uma centelha neuronal enaltece o seu raciocínio matemático. Ana reconhece que 144 é 12 elevado à segunda potência, ou seja, é igual a 12 ao quadrado, o mesmo que 12 x 12. Ana ri-se a imaginar a superfície de um quadrado, figura geométrica, pintada com dedos entrelaçados de várias mãos. Quantas mãos? 12!

As suas mãos entrelaçadas libertam o pensamento abstracto para outras descobertas, permitindo que, de forma concreta, possa contar um número muito grande de coisas. Não um número infinito. Para isso tem a sua imaginação abstracta e o céu estrelado, mas um número concreto e definido de coisas no seu dia-a-dia.

Ana aninha o seu pensamento na história distante da sua espécie. Pensa que algures, há vários milhares de anos atrás, um antepassado terá explorado as limitações finitas das mãos para contar coisas do seu dia-a-dia. Ovelhas, árvores, dúzias de ovos como ainda hoje se faz no mercado tradicional, testemunho vivo de um contar antigo. Terá sido a dúzia a primeira unidade de contagem de grupo?

Ana sabe que os sumérios e os babilónios, povos de civilizações mesopotâmicas que inventaram a escrita e a numeração posicional simbólica, há cerca de 5 mil anos atrás, usaram um sistema de numeração de base 60, dito sexagésimal. Sabe que herdámos deles a divisão de uma hora em 60 minutos, e de cada minuto em 60 segundos! Lembra-se de ter lido num livro sobre civilizações antigas e fundadoras das primeiras cidades do conhecimento (Ur, Uruk, Nippur, Eridu e Lagash entre outras), que aqueles povos dividiam o dia em 12 horas. E, coincidência mas talvez não, continuamos a ter o círculo territorial dos relógios dividido em 12 segmentos, fatias de horas com que marcamos o pulsar do dia. E meio-dia é igual a 12 horas, reflecte Ana.

Ana soergue o olhar para a abóbada celeste, e contempla o cair da tarde suavizado pelo rio das descobertas, que é o Tejo, mas também o seu pensamento. Fixa a aparente estrela da tarde, que sempre foi um planeta, e recorda que foi a astronomia babilónica a primeira a dividir o zodíaco em 12 quadrantes, signos da nossa contemplação, mas seguras referências para transumâncias e migrações exploratórias.

Imagina o planeta Terra coberto pela rede de meridianos. Relembra que existem 24 meridianos horários. Se seguir a linha de um dado meridiano, encontra, em cada pólo geográfico, a linha do meridiano horário 12 horas distante daquele de que partiu, e que pode seguir sem descontinuidade até ao pólo oposto. Por outro lado, se agrupar os meridianos dois a dois, obtém 12 circunferências perfeitas, que dividem, cada uma, a Terra em duas metades idênticas!

Ana sente existir uma íntima relação algébrica entre o sistema sexagésimal (de base 60) e sistema duodecimal (de base 12), que parece ter sido muito útil, e conveniente, para a prática contabilística. Aliás, o número natural 60 tem 12 divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e o próprio 60. E o número 5, quociente entre 60 e 12 (5 x 12 = 60), igual ao número de dedos de cada mão, é um ponto de partida para o sistema decimal (de base dez), que tem origem indo-arábica, e que hoje usamos.

Ana constata, que o sistema sexagésimal é ainda muito usado actualmente para medir ângulos, nas coordenadas geográficas, e para medir o tempo. “Será o sistema numeral das descobertas marítimas e espaciais?”, pensa, ondulando o olhar no rio Tejo.

Ana vai comemorar os seus 12 anos no Pavilhão do Conhecimento que, curiosamente, também cumpre 12 anos de existência. Vai comemorar com a ciência viva e divertida que lhe permite entender o mundo que a rodeia, e com o encanto do conhecimento de muitas dúzias de coisas que enchem o seu mundo de alegria.

Parabéns doze vezes!

António Piedade

EM QUE ANO NASCESTE?

Mais um outro conto da dúzia que está pendurada no “Cordel de Ciência”, ilustrados por Diana Marques, iniciativa promovida e inaugurada no Pavilhão do Conhecimento aquando da comemoração do seu 12º Aniversário, no passado dia 25 de Julho de 2011. Passe por lá e leve-os consigo pela mão!
Entretanto… E na continuação de pedidos de alguns leitores que não passam por Lisboa... Aqui vai.

"Entre algarismos, operações de adição e de subtracção, o lápis e a borracha dançam por entre os dedos de Lídia. Compenetrada em operações algébricas, nem se apercebe da aproximação de seu avô materno, o senhor Joaquim.
- Fazes os teus trabalhos de casa, Lídia? - pergunta-lhe em tom atento.
- Não. Já os acabei ontem - respondeu Lídia num ápice. – Descobri umas relações entre datas, e estou muito entusiasmada com isso!
- Entre datas? Que datas? – perguntou-lhe o avô, sobrancelha erguida para a curiosidade.
- Datas de nascimento entre pais e filhos. Vou espantar-te, queres ver?
- Claro. Estou muito curioso.
- Em que ano nasceste avô?
-Nasci em 1937, minha neta matemática! – disse o senhor Joaquim, no meio de um riso cúmplice.
- E em que ano é que a minha mãe, a tua filha, nasceu?
- A tua mãe nasceu em 1967 – afirmou Joaquim, sem pestanejar.
Lídia aponta as datas no cimo de uma folha nova, e fita o avô à procura da antecâmara do espanto. Sem esperar muito tempo, informa-o com uma interrogação.
- Isso quer dizer que no ano em que a minha mãe fez 37 anos, o avô tinha 67 anos de idade. E isso aconteceu em 2004. Está certo, avô?
- Parece-me que sim. Mas ainda não percebi aonde queres chegar. O que é que pretendes demonstrar? Onde é que reside essa tua descoberta matemática, que ainda há pouco te entusiasmava tanto? – responde o avô Joaquim, com ar desafiador.
- Não reparaste na coincidência?! Na troca, aparentemente coincidente, entre os números correspondentes às idades e às dezenas dos anos de nascimento? Vou-te então enunciar a minha descoberta - afirmou Lídia, com toda a confiança que lhe cabia nos olhos cintilantes.
- Entre pai e filho, aliás é melhor dizer, entre progenitor e descendente, é possível encontrar um, e um só ano, em que o número de anos de vida do descendente é igual às dezenas do ano em que o progenitor nasceu! – disse Lídia, com ares de grande universalidade.
O Avô, meio desconfiado com a afirmação da neta, sentou-se ao seu lado, pegou num lápis para assentar outros números no papel.
- Ora vamos lá ver se a tua relação numérica se verifica com outros exemplos. O teu tio nasceu em 1954. Quando ele fez 37 anos, e isso aconteceu em 1991, eu tinha a jovem idade de…1991-1937 = 54 anos! Espantoso! - disse o senhor Joaquim, iluminando Lídia com o seu olhar.
- Parece que tens razão! – continuou o avô - No ano em que o teu tio completou a idade (37) correspondente às dezenas do ano do meu nascimento (1937), eu aniversariava o número de primaveras (54) igual às dezenas do ano em que ele nasceu (1954)! Como é que descobriste isto, Lídia?
- A sonhar com números e com as pessoas que me são queridas, meu querido avô! É que hoje faço 12 anos. Lembravas-te disso?
- Como me poderia esquecer! – diz Joaquim com alegria.
- Ao acordar - recorda Lídia - comecei a brincar mentalmente com esta minha idade, uma dúzia de anos, e com a idade da minha mãe, que faz neste ano de 2011, 44 anos de idade. Queira encontrar uma relação matemática qualquer que nos unisse ainda mais. Uma espécie de número de ouro, mas algo que fosse só nosso. E, sem querer, encontrei uma relação que me parece ser válida, não só para mim, mas para todos!
- No teu caso, e no da tua mãe, em que ano é que a relação que encontraste se verifica? – pergunta-lhe o avô para a animar.
- Só no ano 2066, ainda falta muito tempo. Nesse ano eu cumprirei 67 anos de vida. A minha mãe, que nasceu em 1967, terá a vetusta idade de 99 anos. De facto, eu nasci em 1999!
- Espero estar cá para confirmar isso – diz o avô Joaquim, no meio de uma grande gargalhada.
Os lápis e as borrachas ficam sobre o papel, enquanto neta e avô, de mão dada, passeiam pelas datas de nascimento de outros familiares, à procura de um exemplo, só um, que deite por terra a universalidade do enunciado que Lídia descobriu."

António Piedade