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sexta-feira, 23 de Agosto de 2013

SIMETRIA


Excerto do livro Miniaturas matemáticas recentemente saído na Gradiva (sem figuras, que estão no livro) na colecção O Prazer da Matemática:

"Na linguagem corrente, o conceito de simetria está muito ligado à ideia de imagem num espelho: costuma-se dizer que uma figura é simétrica quando a imagem de metade da figura num espelho é igual à outra metade da figura. Esse aspecto da simetria está profundamente enraizado na mente humana (e na de outros animais); uma maior simetria está associada a uma maior apreciação estética, provavelmente ligada ao facto de os indivíduos mais simétricos serem também mais saudáveis.

Mas o conceito de simetria é muito mais geral do que isto. Uma generalização pode vir do facto de outra maneira de exprimir que uma figura é simétrica (no sentido usual) ser dizer que quando reflectimos a figura numa recta, obtemos uma figura igual. Ora, quando reflectimos uma figura numa recta, as imagens de quaisquer dois pontos, depois de reflectidos, estão à mesma distância uma da outra que estavam originalmente. Mas a reflexão numa recta não é a única transformação do plano que tem esta propriedade: por exemplo as translações e as rotações também têm (chamam-se isometrias as transformações do plano que conservam a distância entre quaisquer dois pontos). Podemos considerar então figuras com vários tipos de simetria: para além da simetria de reflexão, já mencionada, há simetrias de rotação, quando há uma rotação que deixa a figura igual, simetrias de translação, etc. E nada nos obriga a pensar só em figuras planas: estas ideias também se aplicam ao espaço, onde passamos a ter também, por exemplo, reflexões em planos e rotações em torno de um eixo.

FRISOS E PADRÕES

Um friso ou um padrão é, intuitivamente, uma figura no plano que contém um motivo que se repete indefinidamente, numa direcção no caso do friso, em mais do que uma direcção no caso do padrão.

SIMETRIA NA ARTE

A simetria sempre foi muito explorada na arte. Os vários tipos possíveis de frisos e padrões aparecem em formas de arte variadas de muitas civilizações desde tempos muito remotos, alguns desde a pré-História. A análise da disposição espacial dos átomos nos cristais é um exemplo de aplicação do estudo da simetria em três dimensões; os grupos cristalográficos descrevem a simetria dos cristais.

CRISTALOGRAFIA

Padrão com simetrias de reflexão e de rotação (para além das simetrias de translação, que existem em qualquer padrão).

SABIA QUE só há quatro tipos de transformações do plano que mantêm as distâncias entre pontos? São as rotações, reflexões num eixo, translações e reflexões deslizantes (reflexão num eixo seguida de uma translação com a direcção do eixo); compondo duas daqueles quatro tipos ainda se obtém uma de um desses tipos (por exemplo, uma reflexão seguida de outra reflexão é uma translação ou uma rotação, c onforme os eixos das duas reflexões forem paralelos ou concorrentes).

SABIA QUE  quando se classificam frisos e padrões de acordo com as suas simetrias (por exemplo, se têm eixos de simetria ou alguma rotação que os deixe iguais) só há 7 tipos de friso e 17 tipos de padrão?"

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